2023年苏科版数学八年级下册全方位训练卷10.4 分式的乘除

试卷更新日期：2023-04-05 类型：同步测试

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一、单选题（每题3分，共24分）

1. 下列运算正确的是（）

A、 $\frac{1}{2 a} + \frac{1}{a} = \frac{2}{3 a}$ B、 $\frac{3 b}{4 a} \cdot \frac{2 a}{9 b^{2}} = \frac{b}{6}$ C、 $\frac{1}{a - 1} - \frac{1}{a + 1} = \frac{2}{a^{2} - 1}$ D、 $\frac{1}{3 a b} \div \frac{2 b^{2}}{3 a} = \frac{b^{3}}{2}$

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2. 下列运算结果为 $x - 1$ 的是（　　）

A、 $1 - \frac{1}{x}$ B、 $\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1}$ C、 $\frac{x + 1}{x} \div \frac{x}{x - 1}$ D、 $\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x + 1}$

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3. 化简 $\frac{a^{2} + a b}{a - b} \div \frac{a b}{a - b}$ 的结果是（）．

A、 $\frac{a + b}{b}$ B、 $\frac{a^{2}}{a - b}$ C、 $\frac{a - b}{a}$ D、 $a^{2}$

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4. 若代数式 $\frac{x^{2}}{x - 1} ◯ \frac{x}{x - 1} (x \neq 0)$ 运算结果为x，则在“○”处的运算符号应该是（）

A、除号“÷” B、除号“÷”或减号“-” C、减号“-” D、乘号“×”或减号“-”

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5. 下列计算中，不正确的个数是（）
① $(\frac{3}{a + 2} + a - 2) \div \frac{a^{2} + 2 a + 1}{a + 2} = \frac{a - 1}{a + 1}$ ；② $\frac{a}{a^{2} - 4 a} \cdot (a^{2} - 16) = a - 4$ ；③ $\frac{a + b + 1}{- a + b + 1} = 1$ ；④ $(a + b) \div (a + b) \cdot \frac{1}{a + b} = a - b$ .

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 若 $(\frac{4}{a^{2} - 4} + \frac{1}{2 - a}) \cdot w = 1$ ，则 $w =$ （）

A、 $a + 2 (a \neq - 2)$ B、 $- a + 2 (a \neq 2)$ C、 $a - 2 (a \neq 2)$ D、 $- a - 2 (a \neq \pm 2)$

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7. 已知实数x、y、z满足 $\frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} + \frac{z}{x + y} = 1$ ，则 $\frac{x^{2}}{y + z} + \frac{y^{2}}{z + x} + \frac{z^{2}}{x + y}$ 的值（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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8. 有一块边长为x米的正方形空地，计划按如图所示的方式去种植草皮（图中阴影部分种植草皮）．方式一，在正方形空地上留两条宽为2a米的互相垂直的路；方式二，在正方形空地四周各留一块边长为a米的小正方形空地种植树木，现准备用5000元购进草皮．关于哪种方式种植草皮的单价高以及较高的单价是较低的单价的多少倍（　　）

A、用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的 $\frac{x + 2 a}{x - 2 a}$ 倍 B、用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的 $\frac{x - 2 a}{x + 2 a}$ 倍 C、用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的 $\frac{x + 2 a}{x - 2 a}$ 倍 D、用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的 $\frac{x - 2 a}{x + 2 a}$ 倍

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二、填空题（每题3分，共24分）

9. 计算： $\frac{x^{2} - 16}{x^{2} + 8 x + 16} \div \frac{8}{x + 4} =$ ．

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10. 已知m，n是非零实数，设 $k = \frac{m}{n} = \frac{m + 3 n}{m}$ ，则 $k^{2} =$ (结果用含 $k$ 的式子表示).

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11. 化简的 $(\frac{1}{x - 3} - \frac{x + 1}{x^{2} - 1}) \cdot (x - 3)$ 结果是．

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12. 当 $\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ 时，式子 $(\frac{a^{2} + b^{2}}{a} - 2 b) \cdot \frac{a + b}{a^{2} - b^{2}}$ 的值为．

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13. 不改变分式的值，把所给分式的分子和分母中各项的系数化为整数： $\frac{0.5 x + y}{0.2 x - 4}$ =.

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14. 小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以 $\frac{x + y}{2}$ 错抄成乘以 $\frac{x}{2}$ ，结果得到(x²-xy)，则正确的计算结果是。

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15. 一项工程，甲乙合作b天能完成，甲单独做需要a天完成，则乙独做需天完成.

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16. 式子 $| \begin{array}{l} a \\ c \end{array} \begin{array}{l} b \\ d \end{array} |$ $\frac{2000 - 400 - 440 - 260 - 2000 \times 5 %}{2000}$ 称为二阶行列式，规定它的运算法则为 $| \begin{array}{l} a \\ c \end{array} \begin{array}{l} b \\ d \end{array} |$ ＝ad﹣bc，则二阶行列式 $| \begin{array}{l} a^{2} - a \\ a \end{array} \begin{array}{l} 1 \\ \frac{1}{a^{2} - 1} \end{array} |$ ＝ .

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三、计算题（共2题，共13分）

17. 分式计算：

(1)、 $\frac{1}{49 - m^{2}} \div \frac{1}{m^{2} - 7 m}$

(2)、 $(m + 2 + \frac{5}{2 - m}) \cdot \frac{2 m - 4}{3 - m}$

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18. 化简： $(a + \frac{1}{a}) (a - \frac{1}{a}) (a^{2} + \frac{1}{a^{2}}) (a^{4} + \frac{1}{a^{4}})$ . $\frac{1}{a^{16} - 1}$

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四、解答题（共8题，共59分）

19. 先化简，再求值： $(\frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y}) \div \frac{x}{x^{2} - y^{2}}$ ，其中 $\frac{y}{x} = \frac{1}{2}$ .

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20. 先化简，再求值：
$(\frac{m + 1}{m - 1} + 1) \div \frac{m + m^{2}}{m^{2} - 2 m + 1} - \frac{2 - 2 m}{m^{2} - 1}$ ，其中 $m$ 满足 $- 2 \leq m \leq 2$ ，取一个整数即可.

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21. 已知 $x^{2} - 10 x + 25$ 与 $| y - 3 |$ 互为相反数，求 ${(\frac{y^{2}}{x - y})}^{2} \cdot \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x y}{y^{3}} \div \frac{x^{2} - y^{2}}{x + y}$ 的值.

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22. 以下是某同学化简分式 $(\frac{x + 1}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2}) \div \frac{3}{x - 2}$ 的部分运算过程：
解：原式= $[\frac{x + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{1}{x + 2}] \times \frac{x - 2}{3}$ ①

= $[\frac{x + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)}] \times \frac{x - 2}{3}$ ②

= $\frac{x + 1 - x - 2}{(x + 2) (x - 2)} \times \frac{x - 2}{3}$ ③

．．．

(1)、上面的运算过程中第步出现了错误；

(2)、请你写出完整的解答过程．

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23. 已知 $A = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x} - \frac{x - 1}{x}$ ， $B = 2 x^{2} + 4 x + 2$ .

(1)、化简 $A$ ，并对 $B$ 进行因式分解；

(2)、当 $B = 0$ 时，求 $A$ 的值.

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24. 已知代数式 $\frac{1}{x - 1} + \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 1}$ ，回答下列问题：

(1)、当x=－2时，化简并求出这个代数式的值；

(2)、小红根据化简的结果认为：“当x=1时，该代数式的值为0”，你同意她的说法吗？请说明理由．

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25. 我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数.类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式.任何一个假分式都可以化作整式与真分式的和的形式.
如： $\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x - 1 + 2}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1}$ ； $\frac{2 x - 3}{x + 1} = \frac{2 x + 2 - 5}{x + 1} = \frac{2 x + 2}{x + 1} + \frac{- 5}{x + 1} = 2 + (- \frac{5}{x + 1})$

(1)、下列分式中，属于真分式的是（填序号）；
① $\frac{a - 2}{a + 1}$ ② $\frac{x^{2}}{x + 1}$ ③ $\frac{a^{2} + 3}{a^{2} - 1}$ ④ $\frac{2 b}{b^{2} + 3}$

(2)、将假分式 $\frac{4 a + 3}{2 a - 1}$ 化为整式与真分式的和的形式： $\frac{4 a + 3}{2 a - 1} =$ ；若假分式 $\frac{4 a + 3}{2 a - 1}$ 的值为正整数，则整数 $a$ 的值为；

(3)、请你写出假分式 $\frac{2 a^{2} + 6}{a - 1}$ 化成整式与真分式的和的形式的完整过程.

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26. 如图， $A$ 种小麦试验田是边长为 $a$ 的正方形中减去一个边长为 $b$ 的正方形蓄水池后余下的部分； $B$ 种小麦试验田是边长为 $\frac{1}{2} (a + b)$ 的正方形.

(1)、设两块试验田都收获了 $m (kg)$ 小麦，求 $A$ ， $B$ 两种小麦单位面积产量的比.

(2)、当 $a = 2 b$ 时， $A$ ， $B$ 两种小麦单位面积产量哪个较大？

(3)、若 $A$ ， $B$ 两种小麦单位面积产量相同，求 $a$ ， $b$ 满足的关系式.

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