河北省普通高中2023年数学学业水平合格性考试试卷

试卷更新日期：2023-04-04 类型：水平会考

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一、单选题

1. 设集合 $M = {2 ， 3 ， 4}$ ， $N = {3 ， 4 ， 5}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${2}$ B、 ${5}$ C、 ${3 ， 4}$ D、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5}$

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2. 若实数 $a ， b$ 满足 $a + b i = i (1 - i)$ ，则 $a + b =$ （）

A、2 B、-2 C、1 D、-1

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3. 若实数 $a ， b ， c$ 满足 $a > b$ ， $c < 0$ ，则（）

A、 $a c > b c$ B、 $a c < b c$ C、 $a + c < b + c$ D、 $a - c < b - c$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (m ， 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $m =$ （）

A、1 B、-1 C、4 D、-4

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5. 设命题p： $\forall α \in R$ ， $s i n α \geq - 1$ ，则p的否定是（）

A、 $\exists α \in R$ ， $s i n α \leq - 1$ B、 $\exists α \in R$ ， $s i n α < - 1$ C、 $\forall α \in R$ ， $s i n α \leq - 1$ D、 $\forall α \in R$ ， $s i n α < - 1$

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6. 函数 $f (x) = \sqrt{x (x + 2)}$ 的定义域是（）

A、 $[0 ， 2]$ B、 $[- 2 ， 0]$ C、 $(- \infty ， 0] \cup [2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2] ∪ [0 ， + \infty)$

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7. 魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了“不加借算”开平方的方法： $\sqrt{a^{2} + r} \approx a + \frac{r}{2 a}$ ．当a取正整数且 $| r |$ 最小时，用“不加借算”的方法计算面积为 $1232 m^{2}$ 的正方形区域的边长，其结果是（）

A、35.1 m B、35.3 m C、35.5 m D、35.7 m

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8. 若 $s i n α = \frac{1}{4}$ ， $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则 $c o s (- α) =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $- \frac{\sqrt{15}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$

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9. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = 2 ， \vec{a} \cdot \vec{b} = - \sqrt{3}$ ，那么向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $3 0^{∘}$ B、 $6 0^{∘}$ C、 $12 0^{∘}$ D、 $15 0^{∘}$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 - x ， x \leq 0 \\ l o g_{2} (x + 2) ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (x)$ 的最小值是（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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11. 已知m，n是两条不同的直线， $α$ 是平面，则下列四个结论中正确的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ C、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n / / α$ D、若m，n与 $α$ 所成的角相等，则 $m / / n$

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12. 在 $△ A B C$ 中，设 $\vec{A D} = 3 \vec{D B}$ ， $\vec{C A} = \vec{a}$ ， $\vec{C B} = \vec{b}$ ，则 $\vec{C D} =$ （）

A、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{a} - \frac{3}{4} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$

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13. 某快递驿站随机记录了7天代收快递的件数，如下表：
天/第
1
2
3
4
5
6
7
件数
285
367
463
290
335
719
698
已知该驿站每代收1件快递收取0.8元服务费，据此样本数据，估计该驿站每月（按30天计算）收取的服务费是（单位：元）（）

A、8808 B、9696 C、10824 D、11856

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14. 下列函数中，在区间 $(- 1 ， 1)$ 上单调递减的是（）

A、 $f (x) = - | x + 1 |$ B、 $f (x) = c o s x$ C、 $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ D、 $f (x) = l n \frac{1 + x}{1 - x}$

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15. 设 $a ， b \in R$ ，则“ $a > b$ ”是“ $a^{3} > b^{3}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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16. 将一块棱长为60 cm的正方体石块，磨制成一个球形石块，则最大球形石块的体积是（取 $π = 3$ ）（）

A、 $864000 c m^{3}$ B、 $108000 c m^{3}$ C、 $10800 c m^{3}$ D、 $5400 c m^{3}$

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17. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $- π < φ < 0$ ）的图象如图所示，则 $φ$ 的值是（）

A、 $- \frac{7 π}{10}$ B、 $- \frac{9 π}{10}$ C、 $- \frac{π}{2}$ D、 $- \frac{π}{5}$

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18. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0]$ 上是增函数，且 $f (- 1) = 0$ ，则使 $f (x) > 0$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$

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19. 若圆锥的底面半径为3，体积为 $3 \sqrt{7} π$ ，则此圆锥的侧面展开图的圆心角是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{3 π}{2}$

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20. 某旅游爱好者想利用假期去国外的2个城市和国内的3个城市旅游，由于时间所限，只能在这5个城市中选择两个为出游地．若他用“抓阄”的方法从中随机选取2个城市，则选出的2个城市都在国内的概率是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{3}{10}$

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21. 已知 $a = 2^{- 0.1}$ ， $b = 0 . 5^{0.2}$ ， $c = l o g_{0.5} 0.2$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $b < a < c$ D、 $a < b < c$

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22. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + 2 b = 4$ ，则 $a b$ 的最大值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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23. 将函数 $y = s i n 2 x + c o s 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，所得图象的函数解析式可以是（）

A、 $y = \sqrt{2} c o s 2 x$ B、 $y = \sqrt{2} s i n (2 x - \frac{π}{4})$ C、 $y = \sqrt{2} c o s (2 x - \frac{π}{4})$ D、 $y = \sqrt{2} s i n (2 x + \frac{3 π}{4})$

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24. 某足球队进行点球训练，假设守门员不变，球员甲进球的概率为0.9，球员乙、丙进球的概率均为0.8．若3人各踢点球1次，且进球与否相互独立，则至少进2球的概率是（）

A、0.784 B、0.864 C、0.928 D、0.993

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25. 若 $3 c o s 2 α + 10 c o s α = 1$ ，则 $c o s 2 α + c o s α =$ （）

A、 $- \frac{4}{9}$ B、-1 C、 $\frac{10}{9}$ D、1

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26. 在 $△ A B C$ 中，若 $B C = 1$ ， $A C = 3$ ， $c o s C = \frac{2}{3}$ ，则 $s i n B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{30}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$

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27. 如图所示的八面体的表面是由2个全等的等边三角形和6个全等的等腰梯形组成，设 $A_{1} A = A_{1} B_{1} = 1$ ， $A B = 2$ ，有以下四个结论：
① $B C ⊥$ 平面 $A A_{1} A_{2}$ ；      ② $A A_{1} / /$ 平面 $B B_{2} C_{2} C$ ；
③直线 $A A_{1}$ 与 $C C_{2}$ 成角的余弦值为 $\frac{5}{6}$     ④直线 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $A A_{2} B_{2} B$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．
其中正确结论的个数是（    ）

A、1 B、2 C、3 D、4

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28. 河北雄安新区围绕职业培训、岗位开发、岗位对接等一系列工作，制定出台了《河北雄安新区当地劳动力教育培训实施方案（2019—2025年）》等30余项政策文件，截至2022年底，累计开展各项职业培训16.8万人次．雄安新区公共服务局为了解培训效果，对2022年参加职业技能培训的学员进行了考核测试，并从中随机抽取60名学员的成绩（满分100分），进行适当分组后（每组为左开右闭的区间），作出如图所示的频率分布直方图．

(1)、这批学员技能考核测试成绩的众数的估计值是（    ）

A、65 B、75 C、85 D、95

(2)、这批学员技能考核测试成绩的中位数的估计值是（    ）

A、80.75 B、81.25 C、82.50 D、82.75

(3)、若同一组数据用该区间的中点值作代表，则这批学员技能考核测试成绩的平均数的估计值是（    ）

A、79.0 B、79.5 C、81.0 D、82.5

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29. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $△ P C D$ 是等边三角形，平面 $P C D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D = 3$ ，四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $18 \sqrt{3}$ ， $E$ 为 $P C$ 的中点．

(1)、线段 $A B$ 的长是（    ）

A、3 B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、6

(2)、平面 $P A B$ 与平面 $A B C D$ 所成二面角的正切值是（    ）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

(3)、直线 $D E$ 与平面 $P A D$ 所成角的正弦值是（    ）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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30. 已知函数 $f (x) = 2^{- x} - 2^{1 - 2 x} + a$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 的最大值为1，则实数 $a =$ （    ）

A、 $- \frac{7}{8}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $- \frac{9}{8}$ D、 $\frac{9}{8}$

(2)、关于函数 $f (x)$ 的单调性，下列判断正确的是（    ）

A、 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 2)$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 2)$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 在 $(\frac{1}{4} ， + \infty)$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{1}{4} ， + \infty)$ 上单调递减

(3)、若函数 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，给出下列不等式：
① $x_{1} + x_{2} > 4$ ；② $f (x_{1} + x_{2}) < 0$ ；③ $f (x_{1} + x_{2} - 1) > - \frac{1}{32}$ ；④ $f (x_{1} + x_{2} - 2) > 0$ ．

其中恒成立的个数是（    ）

A、1 B、2 C、3 D、4

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天/第	1	2	3	4	5	6	7
件数	285	367	463	290	335	719	698