四川省凉山州2023届高三下学期理数二诊试卷

试卷更新日期：2023-04-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{3 + 2 i}{1 + i}$ ，则z的虚部是（）

A、 $- \frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{5}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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2. 集合 $A = {x | y = l o g_{2} (1 - 2 x)}$ ， $B = {y | y = 2^{x} ， x < 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | x < \frac{1}{2}}$ B、 ${x | 0 < x < \frac{1}{2}}$ C、 ${x | x \leq \frac{1}{2}}$ D、 ${x | 0 < x \leq \frac{1}{2}}$

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3. 已知 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 1 \geq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ 2 x - y - 2 \leq 0 \end{array}$ ，则目标函数 $z = x + 2 y$ 的最小值是（）

A、1 B、2 C、11 D、无最小值

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4. $C_{0}$ 表示生物体内碳14的初始质量，经过t年后碳14剩余质量 $C (t) = C_{0} {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{h}}$ （ $t > 0$ ， h为碳14半衰期）．现测得一古墓内某生物体内碳14含量为 $0.4 C_{0}$ ，据此推算该生物是距今约多少年前的生物（参考数据 $l g 2 \approx 0.301$ ）．正确选项是（）

A、 $1.36 h$ B、 $1.34 h$ C、 $1.32 h$ D、 $1.30 h$

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5. 执行如图所示程序框图，则输出的S的值是（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{6}{7}$ D、 $\frac{7}{8}$

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6. 小明买了4个大小相同颜色不同的冰墩墩（北京冬奥会吉祥物）随机放入3个不同袋子中，则每个袋子至少放入一个冰墩墩的概率是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{27}$ C、 $\frac{9}{16}$ D、 $\frac{4}{9}$

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7. 已知 $f (x)$ 是定义域为 ${x | x \neq 0}$ 的偶函数且 $f (x) = | \frac{l n x}{x} | - \frac{1}{e^{2}} (x > 0)$ ，则函数 $f (x)$ 零点个数是（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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8. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，点 $A (3 ， 2)$ ，点P为该抛物线上一动点，则 $△ P A F$ 周长的最小值是（）

A、 $3 + 2 \sqrt{2}$ B、3 C、 $4 + 2 \sqrt{2}$ D、 $2 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$

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9. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C对边分别为a，b，c．命题 $p ： \frac{1 - t a n^{2} \frac{A}{2}}{1 + t a n^{2} \frac{A}{2}} + \frac{b c o s (A + C)}{a} = 0$ ，命题 $q ： △ A B C$ 为等腰三角形．则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 如图，在直角梯形 $P A B C$ 中， $A B ∥ P C ， ∠ C = \frac{π}{2} ， A B = B C = \frac{1}{2} P C = 1$ ， D为 $P C$ 边中点，将 $△ P A D$ 沿 $A D$ 边折到 $△ Q A D$ ．连接 $Q B ， Q C$ 得到四棱锥 $Q - A B C D$ ，记二面角 $Q - A D - C$ 的平面角为 $θ$ ，下列说法中错误的是（）

A、若 $θ = \frac{π}{2}$ ，则四棱锥 $Q - A B C D$ 外接球表面积 $3 π$ B、无论 $θ$ 为何值，在线段 $Q B$ 上都存在唯一一点H使得 $D H = 1$ C、无论 $θ$ 为何值，平面 $Q B C ⊥$ 平面 $Q C D$ D、若 $θ = \frac{π}{3}$ ，则异面直线 $A C ， B Q$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{4}$

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11. 已知 $a = t a n \frac{2023}{2022} ， b = e^{\frac{1}{2023}} ， c = \frac{2023}{2022}$ ，则a，b，c大小关系是（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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12. 如图所示，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为2，点P为正方形 $B C C_{1} B_{1}$ 内（不含边界）一动点， $∠ B P C$ 角平分线交 $B C$ 于点Q，点P在运动过程中始终满足 $\frac{B Q}{Q C} = 2$ ．
①直线 $B C_{1}$ 与点P的轨迹无公共点；②存在点P使得 $P B ⊥ P C$ ；③三棱锥 $P - B C D$ 体积最大值为 $\frac{8}{9}$ ；④点P运动轨迹长为 $\frac{4 π}{9}$ ．
上述说法中正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 已知 ${(x + \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式中二项式系数和为32，则 $x^{3}$ 项系数是．

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14. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点 $F (2 ， 0)$ 到一条渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ，则其离心率是．

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15. 已知正实数 $a ， b$ ，称 $v = \frac{a + b}{2}$ 为 $a ， b$ 的算术平均数， $u = \sqrt{a b}$ 为 $a ， b$ 的几何平均数， $H = \frac{2}{3} v + \frac{1}{3} u$ 为 $a ， b$ 的希罗平均数． $D$ 为 $△ A B C$ 的 $B C$ 边上异于 $B ， C$ 的动点，点 $P$ 满足 $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{A D}$ 且 $\vec{A P} = \frac{a}{18} \vec{A B} + \frac{b}{18} \vec{A C}$ ，则正数 $a ， b$ 的希罗平均数 $H$ 的最大值是．

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16. 已知函数 $f (x) = 4 s i n x c o s x - 2 s i n^{2} x + 2 c o s^{2} x + 1$ ，则下列说法中正确的是．
① $f (x)$ 一条对称轴为 $x = \frac{π}{8}$ ；
②将 $f (x)$ 图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，再向下平移1个单位得到的新函数为奇函数；
③若 $f (\frac{x}{2}) = \sqrt{5} + 1$ ，则 $t a n x = 4 \pm \sqrt{15}$ ；
④若函数 $y = f (\frac{ω x}{2}) (ω > 0)$ 在区间 $[\frac{π}{3} ， π]$ 上恰有2个极大值点，则实数 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{17}{4} ， \frac{25}{4})$ ．

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三、解答题

17. 已知对于任意 $n ∈ N^{∗}$ 函数 $f (x) = x^{2} + 2 x$ 在点 $(n ， f (n))$ 处切线斜率为 $a_{n}$ ，正项等比数列 ${b_{n}}$ 的公比 $q \in (0 ， 1)$ ，且 $b_{1} b_{5} + 2 b_{3} b_{5} + b_{2} b_{8} = 25$ ，又 $b_{3}$ 与 $b_{5}$ 的等比中项为2．

(1)、求数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{a_{n}}{b_{n}}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点E，F分别是 $B C$ ， $A_{1} C_{1}$ 中点，平面 $A B B_{1} A_{1} ∩$ 平面 $A E F = l$ ．

(1)、证明： $l ∥ E F$ ；

(2)、若 $A B = A C = 2 \sqrt{2}$ ，平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，且 $A B_{1} ⊥ E F$ ，求直线l与平面 $A_{1} B_{1} E$ 所成角的余弦值．

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19. 2022年12月6日全国各地放开对新冠疫情的管控，在强大的祖国庇护下平稳抗疫三年的中国人民迎来了与新冠变异毒株奥密克戎的首次正面交锋．某市为了更好的了解全体中小学生感染新冠感冒后的情况，以便及时补充医疗资源．从全市中小学生中随机抽取了100名抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染奥密克戎后的疼痛指数为 $X$ ，并以此为样本得到了如下图所示的表格：
疼痛指数 $X$
$X \leq 10$
$10 < X < 90$
$X \geq 90$
人数（人）
10
81
9
名称
无症状感染者
轻症感染者
重症感染者
其中轻症感染者和重症感染者统称为有症状感染者．

(1)、统计学中常用 $L = \frac{P (B | A)}{P (\bar{B} | A)}$ 表示在事件 $A$ 发生的条件下事件 $B$ 发生的似然比．现从样本中随机抽取 $1$ 名学生，记事件 $A$ ：该名学生为有症状感染者，事件 $B$ ：该名学生为重症感染者，求似然比 $L$ 的值；

(2)、若该市所有抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数 $X$ 近似的服从正态分布 $N (50 ， σ^{2})$ ，且 $P (X \geq 90) = \frac{1}{10}$ ．若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机抽取3名，设这3名学生中轻症感染者人数为 $Y$ ，求 $Y$ 的分布列及数学期望．

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20. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，上顶点为C， $∠ C F_{2} F_{1} = \frac{π}{3}$ ，过点 $F_{1}$ 作 $C F_{2}$ 的垂线与椭圆E交于A，B两点， $△ A B C$ 的周长为8．

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、已知点 $P (n ， t) (n t \neq 0)$ 为椭圆E上一动点，过点P作E的切线其斜率记为k，当直线 $P F_{1} ， P F_{2}$ 斜率存在时分别记为 $k_{1} ， k_{2}$ ，探索 $\frac{1}{k} \cdot (\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}})$ 是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = a l n x - \frac{x^{2} - 1}{x} (a \in R)$ ．

(1)、 $f^{^{'}} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数， $f^{^{'}} (x) \leq 0$ 对任意的 $x > 0$ 恒成立，求实数a的取值范围；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个不同的极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，证明： $2 s i n x_{2} - 2 x_{1} - a l n x_{2} + a l n x_{1} < 0$ ．

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22. 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t ， \\ y = - 4 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （t为参数）．以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ s i n^{2} θ = 2 c o s θ$ ．

(1)、求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、设点 $P (- 2 ， - 4)$ ，直线l与曲线C交于点A，B．求证： $| P A | \cdot | P B | = | A B |^{2}$ ．

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 2 | + | 1 - x |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \leq 4$ 的解集；

(2)、函数 $f (x)$ 最小值为 $k ， \frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = k (a > 0 ， b > 0 ， c > 0)$ ，求 $3 a + 2 b + c$ 的最小值．

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疼痛指数 $X$	$X \leq 10$	$10 < X < 90$	$X \geq 90$
人数（人）	10	81	9
名称	无症状感染者	轻症感染者	重症感染者