四川省成都市2023届高三下学期理数第二次诊断考试试卷

试卷更新日期：2023-04-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 2 < x \leq 4}$ ，则（）

A、 $1 \in A$ B、 $2 \in A$ C、 $3 \notin ∁_{R} A$ D、 $4 \in ∁_{R} A$

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2. 函数 $f (x) = c o s (x + \frac{3 π}{2}) + c o s x$ 的最小正周期为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $2 π$ D、 $4 π$

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3. 执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）

A、40 B、41 C、119 D、122

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4. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y - 1 \geq 0 \\ x + y - 3 \leq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的最大值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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5. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点． $P$ 为双曲线 $C$ 右支上一点，若 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{2}$ ， $| P F_{2} | = 2 a$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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6. 甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为 $\frac{1}{3}$ ，比赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（）

A、 $\frac{5}{27}$ B、 $\frac{7}{27}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{1}{9}$

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7. 已知命题 $p$ ：空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行；命题 $q$ ：空间中三个平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ， $α ∩ β = l$ ，则 $l ⊥ γ$ ．则下列命题为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $p \land \neg q$ C、 $p \lor \neg q$ D、 $\neg p \land q$

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8. 已知过抛物线 $C ： y = \frac{x^{2}}{8}$ 的焦点 $F$ ，且倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于A，B两点，则 $| A B | =$ （）

A、32 B、 $\frac{32}{3}$ C、 $\frac{28}{3}$ D、8

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9. 若奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (2 - x)$ ，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = \frac{x}{4 - 2 x}$ ，则 $f (23) =$ （）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、 $\frac{1}{2}$

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10. 若正三棱锥 $P - A B C$ 的高为2， $A B = 2 \sqrt{6}$ ，其各顶点都在同一球面上，则该球的半径为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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11. 已知 $a = \frac{1}{2023}$ ， $b = l o g_{2023} \frac{2024}{2023}$ ， $c = l o g_{2024} \frac{2024}{2023}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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12. 在 $△ A B C$ 中，已知 $\vec{A D} = 2 \vec{D C}$ ， $A C = 3 B C$ ， $s i n ∠ B D C = 3 s i n ∠ B A C$ ，当 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} - | \vec{A B} |$ 取得最小值时， $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{16}$

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二、填空题

13. 复数 $z = 2 i + i^{2} + i^{3}$ （ $i$ 为虚数单位），则|z|的值为．

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14. 已知 $\tan α = 2$ ，则 $\cos 2 α =$ ．

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15. 若直线 $l_{1} ： x + m y - 2 = 0$ 与 $l_{2} ： m x - y + 2 = 0 (m \in R)$ 相交于点 $P$ ，过点 $P$ 作圆 $C ： (x + 2)^{2} + (y + 2)^{2} = 1$ 的切线，切点为 $M$ ，则|PM|的最大值为．

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16. 若函数 $f (x) = x l n x - \frac{1}{2} a x^{2}$ 存在极大值点 $x_{0}$ ，且 $2 f (x_{0}) > e^{2}$ ，则实数 $a$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 某中学为了丰富学生的课余生活，欲利用每周一下午的自主活动时间，面向本校高二学生开设“厨艺探秘”“盆景栽培”“家庭摄影”“名画鉴赏”四门选修课，由学生自主申报，每人只能报一门，也可以不报．该校高二有两种班型－文科班和理科班（各有2个班），据调查这4个班中有100人报名参加了此次选修课，报名情况统计如下：

厨艺探秘
盆景栽培
家庭摄影
名画鉴赏
文科1班
11
5
14
6
文科2班
12
7
11
4
理科1班
3
1
9
3
理科2班
5
1
6
2
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.0100
0.005
$k_{0}$
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.6357
7.879

(1)、若把“厨艺探秘”“盆景栽培”统称为“劳育课程”，把“家庭摄影”“名画鉴赏”统称为“美育课程”．请根据所给数据，完成下面的2×2列联表：
报名班型
课程
合计
“劳育课程”
“美育课程”
文科班
理科班
合计

(2)、根据（1）列联表中所填数据，判断是否有99%的把握认为课程的选择与班型有关．

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为3，且 $a_{1}$ ， $a_{2} + 3$ ， $a_{3} - 6$ 成等差数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${n a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A B_{1} C_{1}$ 均是边长为2的正三角形，且 $A A_{1} = \sqrt{6}$ ．

(1)、证明：平面 $A B_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求平面 $A_{1} C_{1} B$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成锐二面角的余弦值．

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20. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 在第一象限与椭圆C相交于点P，且 $| P F_{2} | = 1$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设直线 $y = k x + 1$ 与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且 $\vec{O D} = m \vec{O B} (m > 0)$ ．若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{2 x}}{x^{a}}$ ，其中 $x > 0$ ， $a \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a > 0$ 时，函数 $g (x) = a l n x + \frac{f (x)}{e^{2}} - 2 x + 1$ 恰有两个零点，求a的取值范围．

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 t^{2} \\ y = 3 t \end{array}$ （ $t$ 为参数）．以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $2 ρ s i n (θ + \frac{π}{6}) = 3$ ．

(1)、求直线 $l$ 的直角坐标方程与曲线 $C$ 的普通方程；

(2)、已知点 $P$ 的直角坐标为 $(- 3 ， 2 \sqrt{3})$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于A，B两点，求 $| P A | + | P B |$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | + 2 | x - 2 |$ ．

(1)、画出 $y = f (x)$ 的图象；

(2)、求不等式 $f (x + 2) > f (x)$ 的解集．

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	厨艺探秘	盆景栽培	家庭摄影	名画鉴赏
文科1班	11	5	14	6
文科2班	12	7	11	4
理科1班	3	1	9	3
理科2班	5	1	6	2

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.0100	0.005
$k_{0}$	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.6357	7.879

报名班型	课程		合计
报名班型	“劳育课程”	“美育课程”	合计
文科班
理科班
合计