四川省巴中市2023届高三理数“一诊”考试试卷

试卷更新日期：2023-04-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1} ， B = {x ∣ x = 2 n - 1 ， n \in A}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1}$ B、 ${- 1 ， 0}$ C、 ${0 ， 1}$ D、 ${- 1 ， 1}$

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2. 设复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2$ ，则 $| \bar{z} | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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3. 若一组样本数据 $y_{1} ， y_{2} ， \dots ， y_{n}$ 的期望和方差分别为 $2 ， 0.04$ ，则数据 $5 y_{1} + 1 ， 5 y_{2} + 1 ， 5 y_{3} + 1 ， \dots ， 5 y_{n} + 1$ 的期望和方差分别为（）

A、3，1 B、11，1 C、3，0.2 D、11，0.2

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{7} + a_{10} = a_{11} + 3$ ，则 $S_{11} =$ （）

A、33 B、66 C、22 D、44

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5. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的渐近线为 $y = \pm 2 x$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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6. 已知 $a ， b$ 是两条不同直线，若 $a$ $∥$ 平面 $β$ ，则“ $a ∥ b$ ”是“ $b ∥ β$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知函数 $f (x) = x (a + \frac{2}{1 + 2^{x}})$ 为偶函数，则 $a =$ （）

A、-1 B、-2 C、2 D、1

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8. 已知 $\frac{s i n θ}{1 + c o s θ} = 2$ ，则 $t a n θ =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - (a + 4) x + 5 ， & x < 2 \\ (2 a - 3) x ， & x \geq 2 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{3}{2})$ B、 $[0 ， \frac{3}{2})$ C、 $(0 ， \frac{7}{6}]$ D、 $[0 ， \frac{7}{6}]$

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10. 随机郑两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和除以4，余数分别为 $0 ， 1 ， 2 ， 3$ ，所对应的概率分别为 $P_{0} ， P_{1} ， P_{2} ， P_{3}$ ，则（）

A、 $P_{1} < P_{0} = P_{2} < P_{3}$ B、 $P_{0} < P_{1} = P_{3} < P_{2}$ C、 $P_{2} < P_{1} = P_{0} < P_{3}$ D、 $P_{1} < P_{2} = P_{3} < P_{0}$

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11. 在 $△ A B C$ 中，若 $2 c o s^{2} A - c o s A = 2 c o s^{2} B + 2 c o s^{2} C - 2 + c o s (B - C)$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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12. 若 $a = 1.1 l n 1.1 ， b = 0.1 e^{0.1} ， c = \frac{1}{9}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $a < c < b$

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二、填空题

13. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的准线方程为：。

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14. ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的二项展开式中的常数项为．

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15. 已知长方体的表面积为22，过一个顶点的三条棱长之和为6，则该长方体外接球的表面积为.

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16. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 为单位向量，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 ， (\vec{c} + 2 \vec{a}) \cdot (\vec{c} + 2 \vec{b}) = - 1$ ，则 $(\vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{b})$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 某中学为了解高中数学学习中抽象思维与性别的关系，随机抽取了男生120人，女生80人进行测试.根据测试成绩按 $[0 ， 20) ， [20 ， 40) ， [40 ， 60) ， [60 ， 80) ， [80 ， 100]$ 分组得到如图所示的频率分布直方图，并且男生的测试成绩不小于60分的有80人.

(1)、填写下面的 $2 \times 2$ 列联表，判断是否有 $95 %$ 的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关；

成绩小于60
成绩不小于60
合计
男
女
合计

(2)、规定成绩不小于60（百分制）为及格，按及格和不及格用分层抽样，随机抽取10名学生进行座谈，再在这10名学生中选2名学生发言，设及格学生发言的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和期望.
附：
$K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$P (K^{2} \geq k)$
0.10
0.050
0.010
$k$
2.706
3.841
6.635

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ .

(1)、证明：数列 ${a_{n} + 1}$ 是等比数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}} ， S_{n} = b_{1} + b_{2} + ⋯ + b_{n}$ ，证明： $S_{n} < 2$ .

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19. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $E ， F$ 分别是 $A B ， B C$ 的中点，将 $△ A E D ， △ D C F$ 分别沿 $D E ， D F$ 折起，使 $A ， C$ 两点重合于点 $P$ ，过 $P$ 作 $P H ⊥ B D$ ，垂足为 $H$ .

(1)、证明： $P H ⊥$ 平面 $B F D E$ ；

(2)、求 $P B$ 与平面 $P E D$ 所成角的正弦值.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，左顶点为 $D$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，经过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A ， B$ 两点， $△ F_{2} A B$ 的周长为8.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过直线 $x = 4$ 上一点 $P$ 作椭圆 $C$ 的两条切线，切点分别为 $M ， N$ ，求 $S_{△ D M N}$ 的最大值.
说明：若点 $(x_{0} ， y_{0})$ 在椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 上，则椭圆 $C$ 在点 $(x_{0} ， y_{0})$ 处的切线方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ .

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21. 设函数 $f (x) = e^{x} - b x - 2 b ， g (x) = a x^{2} - x - 1 (a < 0)$ .

(1)、当 $b = 0$ 时，设 $h (x) = g (x) f (x)$ ，求函数 $h (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明 $f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < 0$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + 2 t \\ y = 1 + t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 c o s θ + 2 s i n θ$ .

(1)、求 $l$ 的普通方程和 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设 $P (1 ， 1)$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值.

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23. 设函数 $f (x) = | x + 1 | + | x + 3 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 4$ 的解集；

(2)、若 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $f (a) + f (b) = 12$ ，求 $\frac{1}{a} (b + \frac{4}{b})$ 的最小值.

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	成绩小于60	成绩不小于60	合计
男
女
合计

$P (K^{2} \geq k)$	0.10	0.050	0.010
$k$	2.706	3.841	6.635