陕西省榆林市2023届高三下学期理数二模试卷

试卷更新日期：2023-04-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | 2 - x < 0}$ ， $B = {x | x \leq 0}$ ，则 $A ∪ (∁_{R} B) =$ （）

A、 $(0 ， + ∞)$ B、 $(2 ， + ∞)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $R$

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2. 已知复数 $z = {(1 + i)}^{2} (1 - 2 i)$ ，则复数z的实部与虚部之和是（）

A、-6 B、-4 C、4 D、6

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3. 已知 $a = 1 . 2^{0.1}$ ， $b = l o g_{4} 3$ ， $c = l o g_{\frac{1}{2}} 3$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > b > c$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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4. 某企业为了解员工身体健康情况，采用分层抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是4：1，且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多72，则参加体检的人数是（）

A、90 B、96 C、120 D、144

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5. 已知实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x + y - 2 \geq 0 \\ x - 2 y - 2 \leq 0 \\ y \leq 1 \end{array}$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的最大值是（）

A、1 B、 $\frac{5}{3}$ C、2 D、3

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6. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{49} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $b > 0$ ）的左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是双曲线 $C$ 上的一点，且 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 34$ ，若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率是（）

A、 $\frac{13}{5}$ B、 $\frac{13}{7}$ C、 $\frac{13}{12}$ D、 $\frac{17}{7}$

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7. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $2 B B_{1} = 3 A B$ ， $D$ 是棱 $B C$ 的中点， $E$ 在棱 $C C_{1}$ 上，且 $C C_{1} = 3 C E$ ，则异面直线 $A_{1} D$ 与 $B_{1} E$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 已知 $c o s (α + \frac{π}{12}) + c o s (α + \frac{7 π}{12}) = \frac{1}{5}$ ，则 $c o s (2 α + \frac{2 π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{23}{25}$ B、 $\frac{23}{25}$ C、 $- \frac{24}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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9. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (1 + x) = 2 f (x - 1)$ ，当 $0 \leq x < 2$ 时， $f (x) = x^{2} - 3 x$ ，若对任意的 $x \in (- \infty ， m]$ ，都有 $f (x) \geq - 8$ ，则m的最大值是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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10. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{a}{6}]$ 和 $[\frac{2 a}{5} ， \frac{7 π}{12}]$ 上都是单调的，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{3 π}{2} ， \frac{35 π}{24}]$ B、 $[- \frac{3 π}{2} ， \frac{5 π}{12}]$ C、 $[\frac{5 π}{12} ， \frac{35 π}{24}]$ D、 $[\frac{5 π}{12} ， π]$

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11. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的所有顶点都在球 $O$ 的表面上， $△ A B C$ 是边长为 $4 \sqrt{3}$ 的等边三角形，若三棱锥 $P - A B C$ 体积的最大值是 $32 \sqrt{3}$ ，则球 $O$ 的表面积是（）

A、 $100 π$ B、 $160 π$ C、 $200 π$ D、 $320 π$

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12. 已知函数 $f (x) = (x^{2} + x - 5) e^{x}$ ，若函数 $g (x) = f (f (x)) - a (a > 0)$ ，则 $g (x)$ 的零点个数不可能是（）

A、1 B、3 C、5 D、7

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (m ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 5)$ ，若 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ ．

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14. 某工厂从其所生产的某种配件中随机抽取了一部分进行质量检测，其某项质量测试指标值X服从正态分布 $N (36 ， 9)$ ，且X落在区间 $[39 ， 42]$ 内的配件个数为1359，则可估计所抽取的这批配件共有万个．附：若随机变量服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq ξ \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq ξ \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq ξ \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

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15. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且 $2 c s i n (B - A) = 2 a s i n A c o s B + b s i n 2 A$ ，则 $\frac{c}{a}$ 的取值范围是．

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16. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ， $O$ 为坐标原点，一束平行于 $x$ 轴的光线 $l_{1}$ 从点 $P (x_{0} ， 2)$ （点 $P$ 在抛物线 $C$ 内）射入，经过 $C$ 上的点 $A$ 反射后，再经过 $C$ 上另一点 $B$ 反射后，沿直线 $l_{2}$ 射出，且经过点 $Q$ ，若直线 $O A$ 与抛物线 $C$ 的准线交于点 $D$ ，则直线 $B D$ 的斜率为；若 $| P A | = 2 | B D |$ ，且 $P B$ 平分 $∠ A B Q$ ，则 $p =$ .

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三、解答题

17. 通过市场调查，现得到某种产品的资金投入 $x$ （单位：百万元）与获得的利润 $y$ （单位：百万元）的数据，如下表所示：
资金投入 $x$
2
4
5
6
8
利润 $y$
3
4
6
5
7
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ， $\sqrt{2} \approx 1.414$ ，
对于一组数据 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ， …， $(x_{n} ， y_{n})$ ，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、求样本 $(x_{i} ， y_{i})$ （ $i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 5$ ）的相关系数（精确0.01）；

(2)、根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归直线方程；

(3)、现投入资金1千万元，求获得利润的估计值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 3$ ， $2 S_{n} = a_{n + 1} - 3$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B D ⊥ P C$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，四边形ABCD是菱形， $P B = \sqrt{2} A B = \sqrt{2} P A$ ， E是棱PD上的动点，且 $\vec{P E} = λ \vec{P D}$ ．

(1)、证明： $P A ⊥$ 平面ABCD．

(2)、是否存在实数 $λ$ ，使得平面PAB与平面ACE所成锐二面角的余弦值是 $\frac{2 \sqrt{19}}{29}$ ？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ），四点 $M_{1} (- 2 ， - 2)$ ， $M_{2} (2 ， 1)$ ， $M_{3} (2 ， 2)$ ， $M_{4} (\sqrt{10} ， 1)$ 中恰有三点在椭圆 $C$ 上．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程．

(2)、过点 $(- 2 ， - 4)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $P$ ， $Q$ ，试问直线 $M_{3} P$ ， $M_{3} Q$ 的斜率之和是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - a x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求a的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 3 c o s α ， \\ y = 3 s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程是 $2 ρ c o s θ - ρ s i n θ - 1 = 0$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、设直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $P (0 ， - 1)$ ，求 ${| P A |}^{2} + {| P B |}^{2}$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 | - | 2 x + 4 |$ 的最大值是 $m$ .

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若 $a + 2 b = m$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ），求 $\frac{2}{a} + \frac{9}{b}$ 的最小值．

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资金投入 $x$	2	4	5	6	8
利润 $y$	3	4	6	5	7