陕西省咸阳市2023届高三下学期理数二模试卷

试卷更新日期：2023-04-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数z满足 $i z + 1 = i$ ，那么 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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2. 已知集合 $M = {x | y = \sqrt{x - 1}}$ ， $N = {x | \frac{x - 2}{x^{2} + 1} < 0}$ ，那么 $M ∩ N =$ （）

A、 ${x | 1 \leq x \leq 2}$ B、 ${x | x \geq 1}$ C、 ${x | 1 \leq x < 2}$ D、 ${x | 1 < x < 2}$

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3. 某商场要将单价分别为36元 $/ k g$ ， 48元 $/ k g$ ， 72元 $/ k g$ 的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等.那么该商场对混合糖果比较合理的定价应为（）

A、52元 $/ k g$ B、50元 $/ k g$ C、48元 $/ k g$ D、46元 $/ k g$

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4. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有以下四个命题：
①若 $m / / n$ ， $n \subset α$ ，则 $m / / α$ ②若 $m \subset α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ ③若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α / / β$ ④若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$
其中正确的命题是（）

A、②③ B、②④ C、①③ D、①②

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5. 函数 $f (x) = \frac{x e^{x}}{| x |}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知函数 $f (x) = 4 s i n (2 x - φ)$ ，当 $x = \frac{π}{3}$ 时， $f (x)$ 取得最小值，则 $| φ |$ 的最小值是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{7 π}{6}$

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7. 数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，对一切正整数n，点 $(n ， S_{n})$ 在函数 $f (x) = x^{2} + 2 x$ 的图象上， $b_{n} = \frac{2}{\sqrt{a_{n}} + \sqrt{a_{n + 1}}}$ （ $n \in N^{*}$ 且 $n \geq 1$ ），则数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n} =$ （）

A、 $\sqrt{2 n + 1} - \sqrt{2 n - 1}$ B、 $\sqrt{2 n + 3} - 1$ C、 $\sqrt{2 n} - \sqrt{2 n - 2}$ D、 $\sqrt{2 n + 3} - \sqrt{3}$

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8. 已知直角三角形ABC， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3$ ，现将该三角形沿斜边AB旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（）

A、12π B、16π C、 $\frac{48 π}{5}$ D、 $\frac{24 π}{3}$

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9. 巴塞尔问题是一个著名的级数问题，这个问题首先由皮耶特罗·门戈利在1644年提出，由莱昂哈德·欧拉在1735年解决．欧拉通过推导得出： $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + ⋯ + \frac{1}{n^{2}} + ⋯ = \frac{π^{2}}{6}$ ．某同学为了验证欧拉的结论，设计了如图的算法，计算 $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + ⋯ + \frac{1}{202 3^{2}}$ 的值来估算，则判断框填入的是（）

A、 $n > 2023$ B、 $n \geq 2023$ C、 $n ≤ 2023$ D、 $n < 2023$

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10. 2022年卡塔尔世界杯足球赛落幕，这是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．有甲，乙，丙，丁四个人相互之间进行传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任何一个人，以此类推，则经过三次传球后乙只接到一次球的概率为（）

A、 $\frac{1}{27}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{8}{27}$ D、 $\frac{16}{27}$

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11. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ， c是双曲线的半焦距，则当 $\frac{2 a + 3 b}{c}$ 取得最大值时，双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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12. 已知实数 $a > 0$ ， $e = 2.718$ …，对任意 $x \in (- 1 ， + \infty)$ ，不等式 $e^{x} ≥ a e [2 + l n (a x + a)]$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{e}]$ B、 $[\frac{1}{e} ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{2}{e})$ D、 $(\frac{2}{e} ， 1)$

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二、填空题

13. ${(2 x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为.

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14. 过抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若l的倾斜角为 $45 °$ ，则线段AB的中点到x轴的距离是．

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15. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} + 2 \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ， $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为120°，且 $| \vec{b} | = | \vec{a} |$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{c}$ 的数量积为．

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16. 如图，已知在扇形OAB中，半径 $O A = O B = 2$ ， $∠ A O B = \frac{π}{3}$ ，圆 $O_{1}$ 内切于扇形OAB（圆 $O_{1}$ 和OA、OB、弧AB均相切），作圆 $O_{2}$ 与圆 $O_{1}$ 、OA、OB相切，再作圆 $O_{3}$ 与圆 $O_{2}$ 、OA、OB相切，以此类推．设圆 $O_{1}$ 、圆 $O_{2}$ ……的面积依次为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ……，那么 $S_{1} + S_{2} + ⋯ ⋯ + S_{10} =$ ．

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三、解答题

17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $A = \frac{π}{3}$ ， $s i n B s i n C = \frac{2}{3}$ ．

(1)、求 $c o s B c o s C$ ；

(2)、若 $a = 3$ ，求△ABC的周长．

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18. 如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是菱形 $A A_{1} = 8$ ， $A B = 4$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， E，M，N分别是BC， $B B_{1}$ ， $A_{1} D$ 的中点．

(1)、证明： $M N / /$ 平面 $C_{1} D E$ ；

(2)、求二面角 $A - M A_{1} - N$ 的正弦值．

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19. 2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟（WTT）支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分．在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为 $\frac{3}{5}$ ，乙在一次发球中，得1分的概率为 $\frac{1}{2}$ ，如果在一局比赛中，由乙队员先发球．

(1)、甲、乙的比分暂时为8：8，求最终甲以11：9赢得比赛的概率；

(2)、求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望．

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20. 椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，且椭圆C过点 $(- 2 ， 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若点 $M (x_{1} ， y_{1})$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > n > 0)$ 上任一点，那么椭圆在点M处的切线方程为 $\frac{x_{1} x}{m^{2}} + \frac{y_{1} y}{n^{2}} = 1$ ．已知 $N (x_{0} ， y_{0})$ 是（1）中椭圆C上除顶点之外的任一点，椭圆C在N点处的切线和过N点垂直于切线的直线分别与y轴交于点P、Q．求证：点P、N、Q、 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 在同一圆上．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x - a x^{2} - 1 (a \in R)$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 的零点；

(2)、对于任意的 $x > 0$ ，恒有 $f (x) > 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t \\ y = t^{2} \end{array}$ （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ c o s θ + ρ s i n θ - 2 = 0$ ．

(1)、求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)、若直线l与曲线C交于P， $Q$ 两点，且点 $M (0 ， 2)$ ，求 $\frac{1}{| M P |} + \frac{1}{| M Q |}$ 的值．

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23. 已知 $f (x) = 2 | x + 1 | - | x - m |$ ， $m > 1$ ．

(1)、若 $m = 2$ ，求不等式 $f (x) > 2$ 的解集；

(2)、 $g (x) = f (x) - | x - m |$ ，若 $g (x)$ 图象与两坐标轴围成的三角形面积不大于2，求正数m的取值范围．

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