陕西省商洛市2023届高三下学期理数一模试卷

试卷更新日期：2023-04-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 6 x - 7 \geq 0} ， B = {x ∣ 2 + x > 6}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $(- \infty ， - 1] ∪ (4 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1) ∪ (4 ， + \infty)$ C、 $(- ∞ ， - 4) ∪ [1 ， + ∞)$ D、 $[7 ， + \infty)$

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2. 若复数 $z = i (5 + 3 i) + i^{3}$ ，则 $| z | =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{2} = - 2$ ， $a_{3} + a_{4} = 14$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 某市商品房调查机构随机抽取n名市民，针对其居住的户型结构和是否满意进行了调查，如图1，被调查的所有市民中二居室住户共100户，所占比例为 $\frac{2}{9}$ ，四居室住户占 $\frac{1}{3}$ .如图2，这是用分层抽样的方法从所有被调查的市民对户型是否满意的问卷中，抽取20%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是（）

A、 $n = 450$ B、被调查的所有市民中四居室住户共有150户 C、用分层抽样的方法抽取的二居室住户有20户 D、用分层抽样的方法抽取的市民中对三居室满意的有10户

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5. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{x + t}$ 的图象经过点 $(1 ， 2)$ ，则 $f (x)$ 的图象在 $x = 4$ 处的切线方程为（）

A、 $x + 2 y - 12 = 0$ B、 $x - 2 y + 4 = 0$ C、 $2 x + y - 12 = 0$ D、 $2 x - y - 4 = 0$

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6. 把函数 $f (x) = \sqrt{6} s i n (x + \frac{π}{9})$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍得到函数 $g (x)$ 的图象，再把函数 $g (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $h (x)$ 的图象，则函数 $h (x)$ 图象的一个对称中心的坐标为（）

A、 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ B、 $(\frac{π}{3} ， 0)$ C、 $(\frac{3 π}{2} ， 0)$ D、 $(\frac{5 π}{2} ， 0)$

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7. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = B C = 2$ ， $A A_{1} = 5$ ， E为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{34}}{34}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{26}$ D、 $\frac{\sqrt{13}}{13}$

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8. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ ，焦距为 $12$ ，点 $M$ 在双曲线 $C$ 上，且 $M F ⊥ A F$ ， $| M F | = 2 | A F |$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 若圆锥高的平方等于其底面圆的半径与母线的乘积，则称此圆锥为“黄金圆锥”.现有一个黄金圆锥，则该黄金圆锥侧面积与表面积的比值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ D、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{4}$

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10. 某医院安排甲､乙等4名医生到2个社区去义诊，每个社区至少安排1名医生，且每名医生只到1个社区义诊，则甲､乙被安排在同一个社区义诊的概率是（）

A、 $\frac{3}{20}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{3}{14}$ D、 $\frac{3}{7}$

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11. 已知直线 $l ： \sqrt{3} x - y + m = 0$ 经过椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点 $F$ ，且直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $P$ ，与椭圆 $C$ 在第一象限内交于点 $A$ ．若 $| A F | = 3 | A P |$ ，则椭圆 $C$ 的离心率是（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $\sqrt{7} - 2$ C、 $3 - \sqrt{7}$ D、 $2 - \sqrt{3}$

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12. 若函数 $f (x)$ 满足： $\forall a ， b \in R ， 3 f (\frac{2 a + b}{3}) = 2 f (a) + f (b)$ ，且 $f (1) = 1 ， f (4) = 10$ ，则 $f (985) =$ （）

A、2953 B、2956 C、2957 D、2960

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二、填空题

13. 设 $x$ 、 $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 4 x + 3 y - 5 \geq 0 \\ x \leq 2 \\ y \leq 3 \end{array}$ ，则 $z = - 2 x + y$ 的最小值为.

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14. 请写出一个同时满足以下三个条件的函数： $f (x) =$ .
（1） $f (x)$ 是偶函数；（2） $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增；（3） $f (x)$ 的最小值是2.

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15. 公比 $q > 1$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} a_{5} = 32$ ， $a_{2} + a_{6} = 18$ ，则 $\frac{a_{10}}{a_{2}} =$ ．

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16. 已知 $O$ 是 $△ A B C$ 内部的一点，且 $\vec{O A} = m \vec{O B} + n \vec{O C} (m ， n \in R) ， △ A B C$ 和 $△ A B O$ 的面积分别是 $S_{1} ， S_{2}$ ，若 $\frac{S_{2}}{S_{1}} = \frac{3}{5}$ ，则 $3 m - 2 n =$ ．

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三、解答题

17. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a c o s C + c c o s A = \sqrt{3} b t a n A$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $a = \sqrt{21}$ ， $b = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，某市为了宣传好二十大会议精神，市宣传部决定从部门 $A ， B ， C$ 的11人中随机选派5人到相关单位进行宣讲，其中部门 $A ， B ， C$ 可选派的人数分别为 $3 ， 4 ， 4$ ．

(1)、求选派的5人中恰有1人来自部门 $A$ 的概率；

(2)、选派的5人中来自部门 $A ， B ， C$ 的人数分别为 $x ， y ， z$ ，记 $X = m a x {x ， y ， z}$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．注 $： m a x {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， a \geq b \\ b ， a < b \end{array}$ .

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19. 如图，正方形 $A B C D$ 对角线的交点为 $O$ ，四边形 $O B E F$ 为矩形，平面 $O B E F ⊥$ 平面 $A B C D ， G$ 为 $A B$ 的中点， $M$ 为 $A D$ 的中点．

(1)、证明： $F M$ $/ /$ 平面 $E C G$ ．

(2)、若 $A B = B E$ ，求二面角 $E - C G - F$ 的余弦值．

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20. 已知 $F$ 是抛物线 $E ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，点 $M$ 在抛物线 $E$ 上， $| M F | = 2$ ，以 $M F$ 为直径的圆 $C$ 与 $x$ 轴相切于点 $N$ ，且 $| M N | = | N F |$ ．

(1)、求抛物线 $E$ 的方程；

(2)、 $P$ 是直线 $y = - 4$ 上的动点，过点 $P$ 作抛物线 $E$ 的切线，切点分别为 $A ， B$ ，证明：直线 $A B$ 过定点，并求出定点坐标．

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21. 已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x}$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数．

(1)、求 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 3]$ 上的值域；

(2)、函数 $g (x) = f (x) - l n x$ ，证明： $g (x)$ 有且仅有两个零点．

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22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{2}}{2} t ， \\ y = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ = 6 c o s θ + 8 s i n θ$ .

(1)、求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、若直线l与y轴的交点为D，与曲线C的交点为A，B，求 $| D A |^{2} + | D B |^{2}$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | - 2 | x + a |$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求不等式 $f (x) > - 1$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) > 0$ 在 $[- 3 ， - 2]$ 上恒成立，求实数a的取值范围.

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