陕西省安康市2023届高三下学期理数二模试卷

试卷更新日期：2023-04-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 ${(2 + i)}^{2} = z \cdot (4 - 3 i)$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、i B、－i C、1 D、－1

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2. 若集合 $A = {x | y = l o g_{3} (2 - x)}$ ， $B = {y | y = {(x - 1)}^{2} + 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $[1 ， 2)$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 2)$

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3. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $M$ 是 $C D$ 的中点，若 $\vec{A C} = λ \vec{A M} + μ \vec{A B}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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4. 已知 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x + y - 3 \leq 0 \\ 3 x - y + 2 \geq 0 \\ x + 2 y - 2 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最大值为（）

A、 $- \frac{11}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、2 D、 $\frac{7}{3}$

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5. 已知函数 $f (x) = s i n ω x c o s ω x - \sqrt{3} s i n^{2} ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为π，则下列说法不正确的是（）

A、 $ω = 1$ B、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[- \frac{5 π}{12} + 2 k π ， \frac{π}{12} + 2 k π]$ ，（ $k \in Z$ ） C、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后所得图象关于y轴对称 D、 $f (\frac{π}{3} + x) + f (\frac{π}{3} - x) = - \sqrt{3}$

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6. 已知四面体的四个面均为直角三角形（如图所示），则该四面体中异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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7. $a = l o g_{6} 3$ ， $b = l o g_{12} 4$ ， $c = 5^{- \frac{1}{2}}$ ， $d = \frac{5}{8}$ ，则a，b，c，d的大小关系为（）

A、 $c < b < a < d$ B、 $b < c < d < a$ C、 $c < a < b < d$ D、 $c < b < d < a$

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8. 下列命题正确的是（）

A、“ $\exists x \in R$ ， $l o g_{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1) > 0$ ”的否定为假命题 B、若“ $\forall x \in R$ ， $a x^{2} + 4 x + 1 > 0$ ”为真命题，则 $a \leq 4$ C、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + 3 b + a b = 9$ ，则 $a + 3 b \geq 6$ D、 $a + b = 0$ 的必要不充分条件是 $\frac{a}{b} = - 1$

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9. 设抛物线C： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点是F，直线l与抛物线C相交于A，B两点，且 $∠ A F B = \frac{3 π}{4}$ ，过弦AB的中点P作 $y = - \frac{p}{2}$ 的垂线，垂足为Q，则 ${(\frac{| A B |}{| P Q |})}^{2}$ 的最小值为（）

A、 $2 + \sqrt{2}$ B、3 C、 $\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$ D、 $2 - \sqrt{2}$

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10. 宋代理学家周敦颐的《太极图》和《太极图说》是象数和义理结合的表达．《朱子语类》卷七五：“太极只是一个混沦底道理，里面包含阴阳、刚柔、奇偶，无所不有”．太极图（如下图）将平衡美、对称美体现的淋漓尽致．定义：对于函数 $f (x)$ ，若存在圆C，使得 $f (x)$ 的图象能将圆C的周长和面积同时平分，则称 $f (x)$ 是圆C的太极函数．下列说法正确的是（）
①对于任意一个圆，其太极函数有无数个② $f (x) = l o g_{\frac{1}{2}} (2^{x} + 1) + \frac{1}{2} x$ 是 $x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ 的太极函数③太极函数的图象必是中心对称图形④存在一个圆C， $f (x) = s i n x + c o s x$ 是它的太极函数

A、①④ B、③④ C、①③ D、②③

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11. 已知 ${(x - \frac{1}{2})}^{2023} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + … + a_{2023} x^{2023}$ ，则 $a_{2} + \frac{3}{2^{2}} a_{3} + \frac{4}{2^{3}} a_{4} + … + \frac{2023}{2^{2022}} a_{2023}$ 的值为（）

A、0 B、 $2^{2023}$ C、 $\frac{2023}{2^{2022}}$ D、 $- \frac{2023}{2^{2022}}$

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12. 已知 $l n x - e^{x} \leq λ x - l n (1 - λ) ， x \in (0 ， + ∞)$ 恒成立，则λ的取值范围是（）

A、 $[1 - e ， + \infty)$ B、 $[1 - e ， 1)$ C、 $[e - 2 ， 1)$ D、 $[0 ， 1)$

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二、填空题

13. 某服装公司对1-5月份的服装销量进行了统计，结果如下：
月份编号 $x$
1
2
3
4
5
销量 $y$ （万件）
50
$a$
142
185
227
若 $y$ 与 $x$ 线性相关，其线性回归方程为 $\hat{y} = 45 x + 5$ ，则 $a =$ ．

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14. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上有不同的三点A，B，P，且A，B关于原点对称，直线PA，PB的斜率分别为 $k_{P A}$ ， $k_{P B}$ ，且 $k_{P A} \cdot k_{P B} \in (\frac{1}{4} ， 1)$ ，则离心率e的取值范围是．

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15. $△ A B C$ 中，角A， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $c = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $a = 2$ ， $a c o s C = b - \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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16. 已知定义在 $(0 ， + ∞)$ 上的函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{l n 2} - \frac{a}{2} x^{2} + e^{2} x + 1$ 恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知公比大于1的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} + a_{5} = 40$ ， $a_{4} = 16$ ， $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，求 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 2023年的春节联欢晚会以“欣欣向荣的新时代中国，日新月异的更美好生活”为主题，通过各种艺术形式，充分展现开心信心、顽强奋进的主旋律．调查表明，观众对春晚的满意度与节目内容、灯光舞美、明星阵容有极强的相关性．现将这三项的满意度指标分别记为a，b，c，并对它们进行量化；0表示不满意，1表示基本满意，2表示非常满意．再用综合指标

y = a + b + c

的值评定观众对春晚的满意程度：若

y \geq 4

，则表示非常满意；

2 \leq y \leq 3

表示基本满意；

0 \leq y \leq 1

表示不太满意．为了了解某地区观众对今年春晚的满意度，现从此地观众中随机电话连线10人进行调查，结果如下：

人员编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
满意度指标	$(1 ， 1 ， 2)$	$(2 ， 1 ， 1)$	$(2 ， 2 ， 2)$	$(1 ， 0 ， 1)$	$(1 ， 2 ， 1)$	$(2 ， 2 ， 1)$	$(1 ， 1 ， 1)$	$(2 ， 1 ， 2)$	$(0 ， 1 ， 0)$	$(1 ， 0 ， 2)$

(1)、在这10名被电话调查的人中任选2人，求这2人对灯光舞美的满意度指标不同的概率；

(2)、从满意程度为“非常满意”的被调查者中任选一人，其综合指标为m，从满意程度不是“非常满意”的被调查者中任选一人，其综合指标为n，记随机变量

X = m - n

，求X的分布列及数学期望．

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19. 如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，O为AB中点 $A_{1} O ⊥$ 底面ABC， $A_{1} O = 4$ ， $A C = B C$ ， $A B = 2 O C = 6$ ， G，E分别在线段AC， $B C_{1}$ 上，且 $\frac{A G}{G C} = \frac{B E}{C_{1} E} = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求证：GE∥面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、记面 $B_{1} G E ∩$ 面 $A B C = l$ ，求二面角 $B_{1} - l - B$ 的余弦值．

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20. 设椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $B (0 ， 1)$ ， $P$ 为直线 $l_{1}$ ： $y = k x (k > 0)$ 上不同于原点 $O$ 的任意一点，线段 $O P$ 的垂直平分线为 $l_{2}$ ，椭圆的两焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 关于 $l_{2}$ 的对称点都在以 $P$ 为圆心， $\sqrt{3}$ 为半径的圆上．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{1}$ 与椭圆交于 $M$ ， $N$ 两点， $A$ 为椭圆的右顶点，求四边形 $A M B N$ 的面积的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = a l n x$ ， $g (x) = b e^{x}$ （e为自然对数的底数）

(1)、当 $a = e$ 时，恰好存在一条过原点的直线与 $f (x)$ ， $g (x)$ 都相切，求b的值；

(2)、若 $b = 1$ ，方程 $x g (x) - f (x) - a x = 0$ 有两个根 $x_{1} ， x_{2}$ ，（ $0 < x_{1} < x_{2}$ ），求证： $x_{1} \cdot x_{2} > e^{2 - (x_{1} + x_{2})}$ ．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 4 - \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = 4 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数）．以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 8 s i n θ$ ， $A$ 为曲线 $C$ 上一点．

(1)、求 $A$ 到直线 $l$ 距离的最大值；

(2)、若点 $B$ 为直线 $l$ 与曲线 $C$ 在第一象限的交点，且 $∠ A O B = \frac{7 π}{12}$ ，求 $△ A O B$ 的面积．

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23. 已知 $f (x) = | x - a | + | x + 3 a - 2 |$ ， $g (x) = - x^{2} + 2 a x + 1 (a \in R)$

(1)、当 $a = 2$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 7$ ；

(2)、若对 $\forall x_{1} ， x_{2} \in R$ ，都有 $f (x_{1}) > g (x_{2})$ 成立，求 $a$ 的取值范围．

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月份编号 $x$	1	2	3	4	5
销量 $y$ （万件）	50	$a$	142	185	227