山西省2023届高三数学适应性考试试卷

试卷更新日期：2023-04-03 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | (x - 1)^{2} \geq 4}$ ， $B = {y \in Z | - 2 \leq y \leq 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 2 ， - 1}$ C、 ${x | - 2 \leq x \leq 2 ， x \geq 3}$ D、 ${x | - 2 \leq x \leq - 1}$

查看试题解析
2. 若复数 $z$ 满足 $z + \bar{z} = 2$ ， $| \frac{1}{z} | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 \pm i$ B、 $1 \pm \sqrt{3} i$ C、 $1 + i$ D、 $1 + \sqrt{3} i$

查看试题解析
3. 设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 4$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、2

查看试题解析
4. 十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数” $D (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \in Q ， \\ 0 ， x \in ∁_{R} Q ， \end{array}$ 它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数 $f (x) = x^{2} - D (x)$ ，则下列实数不属于函数 $f (x)$ 值域的是（）

A、3 B、2 C、1 D、0

查看试题解析
5. $2 2^{22}$ 除以5的余数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
6. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x - c o s ω x (ω > 0)$ ，集合 ${x \in (0 ， π) | f (x) = 1}$ 中恰有3个元素，则实数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{3}{2} ， 3]$ B、 $[\frac{3}{2} ， 3]$ C、 $[\frac{7}{3} ， 3]$ D、 $(\frac{7}{3} ， 3]$

查看试题解析
7. 一圆锥的高为4，该圆锥体积与其内切球体积之比为 $2 ： 1$ ，则其内切球的半径是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = l n x$ ， $g (x) = x^{a} (x > 0 ， a \neq 0)$ ，若存在直线 $l$ ，使 $l$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线，也是曲线 $y = g (x)$ 的切线，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{e}] ∪ (1 ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{e} ， + ∞)$ C、 $[\frac{1}{e} ， 1) ∪ (1 ， + \infty)$ D、 $(1 ， + \infty)$

查看试题解析

二、多选题

9. 下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = e^{s i n | x |} + e^{| s i n x |}$ 是偶函数 B、若命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 a x + 1 < 0$ ”是假命题，则 $- 1 \leq a \leq 1$ C、设 $x$ ， $y \in R$ ，则“ $x ≥ 1$ ，且 $y \geq 1$ ”是“ $x^{2} + y^{2} \geq 2$ ”的必要不充分条件 D、 $\exists a b > 0$ ， $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{b - a}$

查看试题解析
10. 树人中学2006班某科研小组，持续跟踪调查了他们班全体同学一学期中 $16$ 周锻炼身体的时长，经过整理得到男生、女生各周锻炼身体的平均时长（单位： $h$ ）的数据如下：
男生： 6.3、7.4、7.6、8.1、8.2、8.2、8.5、8.6、8.6、8.6、8.6、9.0、9.2、9.3 、9.8、10.1；
女生：5.1、5.6、6.0、6.3、6.5、6.8、7.2、7.3、7.5、7.7 、8.1、8.2、8.4、8.6、9.2、9.4.
以下判断中正确的是（）

A、女生每周锻炼身体的平均时长的平均值等于8 B、男生每周锻炼身体的平均时长的80%分位数是9.2 C、男生每周锻炼身体的平均时长大于 $9 h$ 的概率的估计值为0.3125 D、与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长波动性比较大

查看试题解析
11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $\frac{1}{\sqrt{S_{n}}} - \sqrt{S_{n}} = \sqrt{a_{n}}$ ，下列结论正确的是（）

A、 $S_{n} = \frac{1}{2 - S_{n - 1}} (n \geq 2)$ B、 ${\frac{1}{S_{n} - 1}}$ 为等差数列 C、 $S_{1}^{2} S_{3}^{2} \cdot \cdot \cdot S_{2 n - 1}^{2} \geq \frac{1}{4 n}$ D、 $a_{n} = \frac{n}{n + 1}$

查看试题解析
12. 如图，双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过右焦点 $F_{2}$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线 $l$ 交双曲线 $C$ 的右支于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $\vec{A F_{2}} = 7 \vec{F_{2} B}$ ，则（）

A、双曲线 $C$ 的离心率为 $\frac{7}{3}$ B、 $△ A F_{1} F_{2}$ 与 $△ B F_{1} F_{2}$ 面积之比为 $7 ： 1$ C、 $△ A F_{1} F_{2}$ 与 $△ B F_{1} F_{2}$ 周长之比为 $7 ： 2$ D、 $△ A F_{1} F_{2}$ 与 $△ B F_{1} F_{2}$ 内切圆半径之比为 $3 ： 1$

查看试题解析

三、填空题

13. 一个袋子里装有4个红球3个白球3个蓝球，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.则第一次摸到红球的概率是，第一次没有摸到红球且第二次摸到红球的概率是.

查看试题解析
14. $P (x ， y)$ 为圆 $C$ ： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5$ 上任意一点，且点 $P$ 到直线 $l_{1}$ ： $2 x - y + 4 = 0$ 和 $l_{2}$ ： $2 x - y + m = 0$ 的距离之和与点 $P$ 的位置无关，则 $m$ 的取值范围是.

查看试题解析
15. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C = 2 A A_{1} = 2$ ， $A B = A C = \sqrt{3}$ ， $P$ 为线段 $A_{1} B$ 上的一个动点，则 $P A + P C$ 的最小值是.

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 定义域均为 $R$ ，且 $f (x + 1) = - \frac{1}{2} f (x) + \frac{\sqrt{3}}{2} g (x)$ ， $g (x + 1) = - \frac{1}{2} g (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} f (x)$ ， $f (x) = f (5 - x)$ ， $g (365) = - \sqrt{3}$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2023} f (k) =$ .

查看试题解析

四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是正项等比数列，且 $a_{4} - a_{1} = 7$ ， $a_{2} a_{3} = 8$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .
① $b_{n} = (2 n - 1) a_{n}$ ；② $b_{n} = \frac{1}{(2 n + 1) l o g_{2} a_{2 n}}$ .

查看试题解析
18. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D = 4$ ， $B D = B C$ ， $∠ D B C = \frac{π}{2}$ ， $∠ D A B = θ$ ， $s i n θ + c o s θ = \frac{\sqrt{7}}{4}$ .

(1)、求 $△ A B D$ 的面积；

(2)、求线段 $A C$ 的长度.

查看试题解析
19. 某农科所对冬季大棚内的昼夜温差与某反季节大豆新品种发芽率之间的关系进行分析研究，记录了2023年1月1日至1月12日大棚内的昼夜温差与每天每100颗种子的发芽数，得到如下资料：
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
8日
9日
10日
11日
12日
温差 $x$ /℃
10
11
13
12
8
10
9
11
13
10
12
9
发芽数 $y$ /颗
21
24
28
28
15
22
17
22
30
18
27
18
$\sum_{i = 1}^{12} x_{i} = 128$ ； $\sum_{i = 1}^{12} y_{i} = 270$ ； $\sum_{i = 1}^{12} x_{i} y_{i} = 2965$ ； $\sum_{i = 1}^{12} x_{i}^{2} = 1394$
已知发芽数 $y$ 与温差 $x$ 之间线性相关，该农科所确定的研究方案是：先从这12组数据中选取2组，用剩下的10组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.
参考公式：回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、求选取的2组数据恰好是相邻2天的数据的概率；

(2)、若选取的是1日与6日的两组数据，试根据除这两日之外的其他数据，求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；（精确到1）

(3)、若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过2颗，则认为求得的线性回归方程是可靠的，试问：（2）中所得的线性回归方程是否可靠.

查看试题解析
20. 如图①，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 2 A B = 2 \sqrt{2}$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点，如图②，沿 $B E$ 将 $△ A B E$ 折起，点 $P$ 在线段 $A D$ 上.

(1)、若 $A P = 2 P D$ ，求证： $A B ∥$ 平面 $P E C$ ；

(2)、若平面 $A B E ⊥$ 平面 $B C D E$ ，是否存在点 $P$ ，使得平面 $A E C$ 与平面 $P E C$ 的夹角为90°？若存在，求此时三棱锥 $C - A P E$ 的体积；若不存在，说明理由.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = - \frac{{(l n x)}^{2}}{2} + x + l n x - 1$ ， $g (x) = (x - 1) e^{x} - \frac{a x^{2}}{2} + a^{2}$ ， $a < 1$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $g (x)$ 有唯一零点，求 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
22. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ ，设过点 $A (1 ， 0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，交直线 $x = 4$ 于点 $P$ ，点 $E$ 为直线 $x = 1$ 上不同于点A的任意一点.

(1)、若 $| A M | \geq 1$ ，求 $b$ 的取值范围；

(2)、若 $b = 1$ ，记直线 $E M$ ， $E N$ ， $E P$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，问是否存在 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ 的某种排列 $k_{i 1}$ ， $k_{i 2}$ ， $k_{i 3}$ （其中 ${i_{1} ， i_{2} ， i_{3}} = {1 ， 2 ， 3}$ ，使得 $k_{i 1}$ ， $k_{i 2}$ ， $k_{i 3}$ 成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由.

查看试题解析

日期	1日	2日	3日	4日	5日	6日	7日	8日	9日	10日	11日	12日
温差 $x$ /℃	10	11	13	12	8	10	9	11	13	10	12	9
发芽数 $y$ /颗	21	24	28	28	15	22	17	22	30	18	27	18
$\sum_{i = 1}^{12} x_{i} = 128$ ； $\sum_{i = 1}^{12} y_{i} = 270$ ； $\sum_{i = 1}^{12} x_{i} y_{i} = 2965$ ； $\sum_{i = 1}^{12} x_{i}^{2} = 1394$