2013年高考理数真题试卷（江苏卷）

试卷更新日期：2016-09-26 类型：高考真卷

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一、填空题：请把答案填写在答题卡相印位置上．

1. 函数y=3sin（2x+ $\frac{π}{4}$ ）的最小正周期为．

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2. 设z=（2﹣i）²（i为虚数单位），则复数z的模为．

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3. 双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的两条渐近线方程为．

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4. 集合{﹣1，0，1}共有个子集．

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5. 如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是．

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6. 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：
运动员
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．

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7. 现在某类病毒记作X_mY_n ，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为．

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8. 如图，在三棱柱A₁B₁C₁﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA₁的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V₁ ，三棱柱A₁B₁C₁﹣ABC的体积为V₂ ，则V₁：V₂= ．

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9. 抛物线y=x²在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是．

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10. 设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD= $\frac{1}{2}$ AB，BE= $\frac{2}{3}$ BC，若 $\vec{D E}$ =λ₁ $\vec{A B}$ +λ₂ $\vec{A C}$ （λ₁ ， λ₂为实数），则λ₁+λ₂的值为．

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11. 已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x²﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为．

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12. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d₁ ， F到l的距离为d₂ ，若d₂= $\sqrt{6} d_{1}$ ，则椭圆C的离心率为．

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13. 在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y= $\frac{1}{x}$ （x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2 $\sqrt{2}$ ，则满足条件的实数a的所有值为．

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14. 在正项等比数列{a_n}中， $a_{5} = \frac{1}{2}$ ，a₆+a₇=3，则满足a₁+a₂+…+a_n＞a₁a₂…a_n的最大正整数n的值为．

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二、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知 $\vec{a}$ =（cosα，sinα）， $\vec{b}$ =（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．

(1)、若| $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ |= $\sqrt{2}$ ，求证： $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ；

(2)、设 $\vec{c}$ =（0，1），若 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ = $\vec{c}$ ，求α，β的值．

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16.
如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：

(1)、平面EFG∥平面ABC；

(2)、BC⊥SA．

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17.
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．

(1)、若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

(2)、若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．

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18. 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA= $\frac{12}{13}$ ，cosC= $\frac{3}{5}$

(1)、求索道AB的长；

(2)、问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

(3)、为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

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19. 设{a_n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S_n是其前n项和．记b_n= $\frac{n S_{n}}{n^{2} + c}$ ，n∈N^* ，其中c为实数．

(1)、若c=0，且b₁ ， b₂ ， b₄成等比数列，证明：S_nk=n²S_k（k，n∈N^*）；

(2)、若{b_n}是等差数列，证明：c=0．

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20. 设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=e^x﹣ax，其中a为实数．

(1)、若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；

(2)、若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．

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21. 如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC．
求证：AC=2AD．

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22. 已知矩阵A= $[\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}]$ ，B= $[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 6 \end{matrix}]$ ，求矩阵A^﹣¹B．

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23. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = t + 1 \\ y = 2 t \end{matrix}$ （为参数），曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 t^{2} \\ y = 2 t \end{matrix}$ （t为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．

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24. 已知a≥b＞0，求证：2a³﹣b³≥2ab²﹣a²b．

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25. 如图，在直三棱柱A₁B₁C₁﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，点D是BC的中点．

(1)、求异面直线A₁B与C₁D所成角的余弦值；

(2)、求平面ADC₁与ABA₁所成二面角的正弦值．

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26. 设数列{a_n}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…， $\overset{k 个}{\overset{︷}{{(- 1)}^{k-1} k ， \dots ， {(- 1)}^{k-1} k}}$ ，…，即当 $\frac{(k - 1) k}{2}$ ＜n≤ $\frac{(k + 1) k}{2}$ （k∈N^*）时， $a_{n} = {(- 1)}^{k - 1} k$ ．记S_n=a₁+a₂+…+a_n（n∈N^∗）．对于l∈N^∗ ，定义集合P_l=﹛n|S_n为a_n的整数倍，n∈N^∗ ，且1≤n≤l}

(1)、求P₁₁中元素个数；

(2)、求集合P₂₀₀₀中元素个数．

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运动员	第一次	第二次	第三次	第四次	第五次
甲	87	91	90	89	93
乙	89	90	91	88	92