江西省上饶市鄱阳县2022-2023学年八年级下学期3月月考数学试题

试卷更新日期：2023-04-03 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若二次根式 $\sqrt{x + 2}$ 在实数范围内有意义，则x应满足的条件是（）

A、 $x \geq - 2$ B、 $x ≤ - 2$ C、 $x \geq 2$ D、 $x > - 2$

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2. 由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（）

A、 $a = 2$ ， $b = 4$ ， $c = 5$ B、 $a = \sqrt{3}$ ， $b = \sqrt{4}$ ， $c = \sqrt{5}$ C、 $a = 3$ ， $b = 4$ ， $c = 5$ D、 $a = 5$ ， $b = 13$ ， $c = 14$

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3. 下列式子计算结果正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{6} = \sqrt{8}$ B、 $6 \sqrt{2} - \sqrt{2} = 6$ C、 $2 \sqrt{2} \times 3 \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2} \div \sqrt{2} = 2$

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4. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图 $2$ 所示的四边形 $O A B C$ ．若 $A B = B C = 2$ ，且 $∠ A O B = 30 °$ ，则 $O C$ 的长度为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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5. 已知 $\sqrt{2 x - 4} + | y - 1 | = 0$ ，则 $x y$ 的值为（）

A、 $\pm 2$ B、 $\pm 4$ C、2 D、4

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6. “勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（）

A、 $31$ B、 $63$ C、 $65$ D、 $67$

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二、填空题

7. 化简： $\sqrt{{(- 9)}^{2}}$ ＝．

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8. 如图，在数轴上点A表示的实数是．

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9. 已知 $\sqrt{12 n}$ 是整数，则正整数 $n$ 的最小值为．

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10. 电流通过导线时会产生热量，电流，（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足 $Q = I^{2} R t$ ．已知导线的电阻为8Ω，2s时间导线产生72J的热量，则I的值为A．

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11. 如图，正方体的棱长为3 cm，已知点B与点C间的距离为1 cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为．

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12. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 30 °$ ， $∠ B = 90 °$ ， $B C = 3$ ， D是直线 $A C$ 上的动点，若 $△ A B D$ 是等腰三角形，则 $A D$ 的长度是．

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三、解答题

13.

(1)、计算： $\sqrt{18} - \sqrt{8} - \sqrt{2}$

(2)、计算： $6 \sqrt{2} \times \sqrt{3} + 3 \sqrt{30} \div \sqrt{5}$ ．

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14. 先化简，再求值： $(\frac{a^{2}}{a - 2} - \frac{1}{a - 2}) \div \frac{a^{2} - 2 a ＋ 1}{a - 2}$ ，其中a= $＝ \sqrt{3} + 1$

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15. 随着3月12日植树节的到来，某企业计划对一块四边形空地进行绿化．如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = 8$ 米， $A D = 6$ 米， $C D = 26$ 米， $B C = 24$ 米，若每平方米绿化的费用为60元，请预计绿化的费用．

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16. 如图，在由 $4 \times 4$ 的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点叫格点．

(1)、在图1中，以A为顶点，作一个三边长分别为2， $\sqrt{5}$ 和 $\sqrt{13}$ 的格点三角形．

(2)、在图2中，以A为顶点，作一个面积为 $\frac{5}{2}$ 的等腰直角三角形．

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17. 如图，长方形 $A B C D$ 沿着对角线 $B D$ 翻折，点C落在点 $C^{'}$ 处， $B C^{'}$ 与 $A D$ 相交于点E，若 $A B = 3$ ， $A E = 1$ ，求 $B C$ 的长．

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18. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C = 4$ ， $∠ B = 30 °$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积．

(2)、若P是边 $A B$ 上的一点（不与点A，B重合），过点P作 $P D ⊥ A C$ 于点D， $P E ⊥ B C$ 于点E，得到图2，移动点P的位置， $P D + P E$ 的值会变化吗？若不变，求出 $P D + P E$ 的值；若变化，请说明理由．

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19. 下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．
计算： ${(\sqrt{2} + 1)}^{2} - \sqrt{4 \frac{1}{2}}$ ．
解：原式 $= 2 + 2 \sqrt{2} + 1 - 4 \sqrt{\frac{1}{2}}$ 第一步
$= 3 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}$ 第二步
$= 3$ 第三步

(1)、任务一：以上步骤中，从第步开始出现错误，这一步错误的原因是．

(2)、任务二：请写出正确的计算过程．

(3)、任务三：除纠正上述错误意外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议．

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20. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”如图，小明站在 $C$ 处，同时小亮在斜坡的 $D$ 处， $D G ⊥ G B$ 且 $D G ＝ 10$ 米， $C G ＝ 60$ 米， $C E ⊥ G B$ ．（不考虑两人身高，点 $G$ 、 $C$ 、 $B$ 在同一水平线上）

(1)、求小明与小亮之间的距离CD（结果保留根号）．

(2)、若风筝A在小明的北偏东 $45 °$ 方向上，且高度 $A B$ 为60米， $A B ⊥ G B$ ，求此时风筝 $A$ 到小亮的距离 $A D$ ．

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21. 如图，在平面直角坐标系中， $O A = O B = 4 \sqrt{2}$ ，点P沿着 $A B$ 从点A 向点B 运动若运动速度为 1个单位长度/秒，设点 P 的运动时间为t 秒．

(1)、若 $t = 2$ ，
①线 $P A =$ ， $P B =$ ．
②点P的坐标为．

(2)、连接 $O P$ ，猜想 $P A^{2}$ ， $P B^{2}$ ， $O P^{2}$ 之间的数量关系，并证明．

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22. 阅读下面解题过程．
例：化简 $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{1}}$ ．
解： $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{1}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{1}}{(\sqrt{2} + \sqrt{1}) (\sqrt{2} - \sqrt{1})} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{1}}{{(\sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{1})}^{2}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{1}}{1} = \sqrt{2} - 1$
请回答下列问题．

(1)、归纳：请直接写出下列各式的结果：
① $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$ ＝；
② $\frac{1}{\sqrt{11} - \sqrt{10}}$ ＝．

(2)、应用：化简 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2022}} .$

(3)、拓展： $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2 n + 1} + \sqrt{2 n - 1}} =$ ．（用含n的式子表示，n为正整数）

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23. 课本再现

(1)、如图1，四个全等的直角三角形拼成－一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明： $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

(2)、类比迁移：现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若 $a = 3$ ， $b = 4$ ，则空白部分的面积为．

(3)、方法运用：小贤将四个全等的直角三角形拼成图3的“帽子”形状，若 $A H = 3$ ， $B H = 4$ ，请求出“帽子”外围轮廓（实线）的周长．

(4)、如图4，分别以 $R t △ A B C$ 的三条边向外作三个正方形，连接 $E C$ ， $B G$ ，若设 $S_{△ E B C} = S_{1}$ ， $S_{△ B C G} = S_{2}$ ， $S_{正方形 B C I H} = S_{3}$ ，则 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 之间的关系为．

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