2023年浙教版数学七年级下册全方位训练卷5.3分式的乘除法

试卷更新日期：2023-04-01 类型：同步测试

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一、单选题（每题4分，共40分）

1. 下列计算错误的是（）

A、 $\frac{1}{a + b} \cdot (a + b) = 1$ B、 $4 a b \cdot \frac{b}{2 a} = 2 b^{2}$ C、 $\frac{a^{2} - 9}{a} \cdot \frac{a^{2}}{a^{2} + 3 a} = a - 3$ D、 $(a - 2) \cdot \frac{a^{2} - 4}{a^{2} - 4 a + 4} = a - 2$

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2. 化简 $x \div \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{x}$ 等于（）

A、1 B、xy C、 $\frac{y}{x}$ D、 $\frac{x}{y}$

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3. 化简 $\frac{a + 1}{a^{2} - a} \div \frac{a + 1}{a^{2} - 2 a + 1}$ 的结果是（）

A、 $\frac{a + 1}{a}$ B、 $\frac{a - 1}{a}$ C、 $\frac{a}{a - 1}$ D、 $\frac{1}{a - 1}$

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4. 如图，设 $k = \frac{乙图中阴影部分面积}{甲图中阴影部分面积}$ （ $a > b > 0$ ），则k的值可以为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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5. 绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨.现在改用喷灌方式，可使同样m吨的水量多用5天.漫灌方式每天的用水量是喷灌方式每天用水量的（）

A、 $\frac{m}{a}$ B、 $\frac{m}{a + 5}$ C、 $\frac{a}{a + 5}$ D、 $\frac{a + 5}{a}$

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6. 计算： $\frac{t^{2} - 2 t + 1}{t^{2} - 4 t + 4} \cdot \frac{t^{2} - 4}{t - 1}$ （）

A、 $\frac{t - 2}{(t - 1) (t + 2)}$ B、 $\frac{t + 2}{(t + 1) (t - 2)}$ C、 $\frac{(t - 1) (t + 2)}{t - 2}$ D、 $\frac{(t + 1) (t - 2)}{t + 2}$

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7. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简过程如图所示：
老师 $\frac{x^{2} - 2 x}{x - 1} \div \frac{x^{2}}{1 - x}$ →甲 $\frac{x^{2} - 2 x}{x - 1} \cdot \frac{1 - x}{x^{2}}$ →乙 $\frac{x^{2} - 2 x}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{x^{2}}$ →丙 $\frac{x (x - 2)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{x^{2}}$ →丁 $\frac{x - 2}{2}$
接力中，自己负责的一步出现错误的是（）

A、只有乙 B、甲和丁 C、乙和丙 D、乙和丁

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8. 下列计算结果正确的有（）
① $\frac{3 x}{x^{2}} · \frac{x}{3 x} = \frac{1}{x}$ ；② $8 a^{2} b^{2} \cdot (- \frac{3 a}{4 b^{2}}) = - 6 a^{3}$ ；③ $\frac{a}{a^{2} - 1} \div \frac{a^{2}}{a^{2} + a} = \frac{1}{a - 1}$ ；④ $a \div b · \frac{1}{a} = a$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 一项工程，甲单独做a小时完成，乙单独做b小时完成，甲、乙两人一起完成这项工程所需的时间为（）

A、 $\frac{a b}{a + b}$ 小时 B、 $\frac{a + b}{a b}$ 小时 C、 $a + b$ 小时 D、 $\frac{1}{a + b}$ 小时

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10. 若 $x$ 为正整数，则计算 $\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1}$ 的结果是（）

A、正整数 B、负整数 C、非负整数 D、非正整数

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二、填空题（每空5分，共30分）

11. 计算： ${(- \frac{a}{2 b})}^{2} \div (- \frac{a^{2}}{3 b}) =$ .

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12. 甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修 $(a^{2} - 4)$ 米，乙工程队每天修 ${(a - 2)}^{2}$ 米（其中 $a > 2$ ），则甲工程队修900米所用时间与乙工程队修600米所用时间的比值是．（用含a的式子表示）

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13. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简.过程如图所示：

接力中，自己负责的一步出现错误的是.

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14. 化简： $\frac{4 a^{2} b}{3 c d^{2}} \cdot \frac{5 c^{2} d}{4 a b^{2}} \div \frac{2 a b c}{3 d}$ ＝.

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15. 若□× $(\frac{y^{2}}{x})^{2} = \frac{y}{x}$ ，则□中的式子是．

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16. 化简 $a \div b \times \frac{1}{b} \div c \times \frac{1}{c}$ =

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三、计算题（共20分）

17. 计算.

(1)、 $\frac{4 x}{3 y} \cdot \frac{y}{2 x^{3}}$ .

(2)、 $\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} \div \frac{x}{x - 1}$ .

(3)、 $\frac{9 a b^{2}}{a^{2} - b^{2}} \cdot \frac{5 a - 5 b}{3 a^{2} b}$ .

(4)、 $\frac{x^{2} - y^{2}}{4 x^{2} + 12 x y} \div \frac{x - y}{x + 3 y}$ .

(5)、 $\frac{- 3}{2 x - 4} \div \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 4 x + 4}$ .

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四、解答题（共3题，共30分）

18. 下面的计算对吗?如果不对，请改正.

(1)、 $\frac{- x}{2 b} \cdot \frac{6 b}{x^{2}} = \frac{3 b}{x}$ ；

(2)、 $\frac{4 x}{3 a} \div \frac{a}{2 x} = \frac{2}{3}$ .

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19. 阅读下面的解题过程:
已知 $\frac{x}{x^{2} + 1}$ = $\frac{1}{3}$ ,求 $\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$ 的值.
解:由 $\frac{x}{x^{2} + 1}$ = $\frac{1}{3}$ 知x≠0,所以 $\frac{x^{2} + 1}{x}$ =3,即x+ $\frac{1}{x}$ =3.所以
$\frac{x^{4} + 1}{x^{2}}$ =x²+ $\frac{1}{x^{2}}$ = ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ -2=3²-2=7.
故 $\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$ 的值为 $\frac{1}{7}$ .
该题的解法叫做“倒数求值法”,请你利用“倒数求值法”解下面的题目:
若 $\frac{x}{x^{2} - 3 x + 1}$ = $\frac{1}{5}$ ,求 $\frac{x^{2}}{x^{4} + x^{2} + 1}$ 的值.

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20. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.

(1)、下列分式:① $\frac{x - 1}{x^{2} + 1}$ ；② $\frac{a - 2 b}{a^{2} - b^{2}}$ ；③ $\frac{x + y}{x^{2} - y^{2}}$ ；④ $\frac{a^{2} - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$ . 其中是“和谐分式”是 (填写序号即可)；

(2)、若 $a$ 为正整数，且 $\frac{x - 1}{x^{2} + a x + 4}$ 为“和谐分式”，请写出 $a$ 的值;

(3)、在化简 $\frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{a}{b} \div \frac{b}{4}$ 时，
小东和小强分别进行了如下三步变形:

小东： $原式 = \frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{a}{b} \times \frac{4}{b}$ $= \frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{4 a}{b^{2}}$ $= \frac{4 a^{2} b^{2} - 4 a (a b^{2} - b^{3})}{(a b^{2} - b^{3}) b^{2}}$

小强： $原式 = \frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{a}{b} \times \frac{4}{b}$ $= \frac{4 a^{2}}{b^{2} (a - b)} - \frac{4 a}{b^{2}}$ $= \frac{4 a^{2} - 4 a (a - b)}{(a - b) b^{2}}$

显然，小强利用了其中的和谐分式, 第三步所得结果比小东的结果简单，

原因是什么？

请你接着小强的方法完成化简.

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