2023年浙教版数学七年级下学期高分速效复习8 因式分解（进阶版）

试卷更新日期：2023-04-01 类型：复习试卷

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 若 $4 x^{3} y^{2} - 6 x^{2} y^{3} + M$ 可分解因式为 $2 x^{2} y^{2} (2 x -$ $3 y + 1)$ ，则 $M$ 等于（）

A、2xy B、 $2 x^{2} y^{2}$ C、 $- 2 x^{2} y^{2}$ D、 $4 x y^{2}$

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2. 多项式 $(x + 2) (2 x - 1) - 2 (x + 2)$ 可以因式分解成 $(x + m) (2 x + n)$ ，则 $m - n$ 的值是（）

A、3 B、0 C、5 D、1

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3. 下列四个多项式中，能用提公因式法进行因式分解的是（）
①16x²﹣8x；②x²+6x+9；③4x²﹣1；④3a﹣9ab．

A、①和② B、③和④ C、①和④ D、②和③

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4. 下列各式的因式分解中正确的是（）

A、 $- a^{2} + a b - a c = - a (a + b - c)$ B、 $9 x y z - 6 x^{2} y^{2} = 3 x y z (3 - 2 x y)$ C、 $3 a^{2} x - 6 b x + 3 x = 3 x (a^{2} - 2 b)$ D、 $\frac{1}{2} x y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} y = \frac{1}{2} x y (x + y)$

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5. 若a²+2ab+b²-c²＝10，a+b+c＝5，则a+b-c的值是（　　）

A、2 B、5 C、20 D、9

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6. 篮子里有若干苹果，可以平均分给 $(x + 1)$ 名同学，也可以平均分给 $(x - 3)$ 名同学（x为大于3的正整数），用代数式表示苹果数量不可能的是（）

A、 $2 x^{3} - 4 x^{2} - 6 x$ B、 $x^{3} - 2 x - 3$ C、 $3 (x + 1) (x - 3)$ D、 $x (x^{2} - 2 x - 3)$

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7. 已知代数式 $(x - x_{1}) (x - x_{2}) + m x + n$ 化简后为一个完全平方式，且当 $x = x_{1}$ 时此代数式的值为0，则下列式子中正确的是（）

A、 $x_{1} - x_{2} = m$ B、 $x_{2} - x_{1} = m$ C、 $m (x_{1} - x_{2}) = n$ D、 $m x_{1} + n = x_{2}$

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8. 已知二次三项式 $x^{2} - kx - 15$ 能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数 $k$ 的取值范围有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息： $x - y$ ， $a - b$ ， 2， $x^{2} - y^{2}$ ， $a$ ， $x + y$ ，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将 $2 a (x^{2} - y^{2}) - 2 b (x^{2} - y^{2})$ 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）

A、爱我中华 B、我游中华 C、中华美 D、我爱游

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10. 任何一个正整数 $n$ 都可以进行这样的分解： $n = s \times t$ （ $s$ 、 $t$ 是正整数，且 $s ⩽ t$ ），如果 $p \times q$ 在 $n$ 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称 $p \times q$ 是 $n$ 的最佳分解，并规定： $F (n) = \frac{p}{q}$ .例如18可以分解成 $1 \times 18$ ， $2 \times 9$ ， $3 \times 6$ 这三种，这时就有 $F (18) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ ，给出下列关于 $F (n)$ 的说法：
① $F (2) = \frac{1}{2}$ ；② $F (48) = \frac{1}{3}$ ；③ $F (n^{2} + n) = \frac{n}{n + 1}$ ；④若 $n$ 是一个完全平方数，则 $F (n) = 1$ ，其中正确说法的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、填空题（每空4分，共24分

11. 若关于x的二次三项式x²+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为

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12. （2x-10）（x-2）-（x-2）（x-13）可分解因式为（x+a）（x+b），则 $a^{b}$ 的值是.

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13. 若方程 $x^{2} + (m + 1) x + 4 = 0$ 的左边可以写成一个完全平方式，则m的值为．

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14. 代数式 x²－6x＋25 的最小值是．

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15. 设多项式x³﹣x﹣a与多项式x²+x﹣a有公因式，则a＝．

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16. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式 $x^{4} - y^{4}$ ，因式分解的结果是 $(x - y) (x + y) (x^{2} + y^{2})$ ，若取 $x = 9$ ， $y = 9$ 时，则各个因式的值是： $(x - y) = 0$ ， $(x + y) = 18$ ， $(x^{2} + y^{2}) = 162$ ，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式 $x^{3} - 4 x y^{2}$ ，取 $x = 30$ ， $y = 10$ 时，写出一个用上述方法产生的密码．

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三、计算题（共8分）

17. 利用因式分解进行计算

(1)、 $(1 - \frac{1}{2^{2}}) \times (1 - \frac{1}{3^{2}}) \times \dots \times (1 - \frac{1}{10^{2}})$

(2)、 $(2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + 8^{2} + 10^{2}) - (1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + 7^{2} + 9^{2})$

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四、解答题

18. 学完因式分解后，小亮同学总结出了因式分解的流程图，如图，
下面是小亮同学的因式分解过程：
$2 x^{2} - 12 x y + 18 y^{2}$
$= 2 (x^{2} - 6 x y + 9 y^{2})$                       ①
$= 2 [x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 y + (3 y)^{2}]$              ②
$=$ ____                                        ③
回答下面的问题：

(1)、①完成了上面流程图的第步；

(2)、②完成了上面流程图的第步；

(3)、将③的结果写在横线上．

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19. 已知，长方形的周长为30cm，两相邻的边长为xcm，ycm，且x³+x²y-4xy²-4y³=0，求长方形的对角线长和面积．

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20. 仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式 $x^{2} - 4 x + m$ 有一个因式是 $x + 3$ ，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为 $x + n$ ，则 $x^{2} - 4 x + m = (x + 3) (x + n)$ ，
即 $x^{2} - 4 x + m = x^{2} + (n + 3) x + 3 n$ ，
∴ ${\begin{array}{l} n + 3 = - 4 \\ 3 n = m \end{array}$ ，解得 ${\begin{array}{l} m = - 21 \\ n = - 7 \end{array}$ ．
故另一个因式为 $x - 7$ ， m的值为－21．
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式 $x^{2} + 3 x - k$ 有一个因式是x-5，求另一个因式以及k的值．

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21. 【学习材料】﹣﹣﹣拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项

例1分解因式：x⁴+4

解：原式＝x⁴+4x²+4﹣4x²＝（x²+2）²﹣4x²＝（x²﹣2x+2）（x²+2x+2）

例2分解因式：x³+5x﹣6

解：原式＝x³﹣x+6x﹣6＝x（x²﹣1）+6（x﹣1）＝（x﹣1）（x²+x+6）

【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：

(1)、分解因式：x²+16x﹣36＝．

(2)、运用拆项添项法分解因式：x⁴+4y⁴ ．

(3)、化简： $\frac{x^{3} - x^{2} - 4}{x - 2}$ ．

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22. 阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等.一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题.
例如：分解因式x³﹣4x²+x+6.步骤：
解：原式＝x³﹣3x²﹣x²+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x²拆成﹣3x²和﹣x²；
＝（x³﹣3x²）﹣（x²﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x²（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x²﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底.

(1)、请你试一试分解因式x³﹣7x+6.

(2)、请你试一试在实数范围内分解因式x⁴﹣5x²+6.

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23. 阅读理解并解答：

(1)、（方法呈现）
我们把多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 及 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 叫做完全平方式.在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题.
例如： $x^{2} + 2 x + 3 = (x^{2} + 2 x + 1) = {(x + 1)}^{2} + 2$ ，

$∵ {(x + 1)}^{2} \geq 0$ ，

$∴ {(x + 1)}^{2} + 2 \geq 2$ .

则这个代数式 $x^{2} + 2 x + 3$ 的最小值是，这时相应的 $x$ 的值是.

(2)、（尝试应用）
求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的 $x$ 的值.

(3)、（拓展提高）
将一根长 $300 c m$ 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由.

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24. 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题.
$(1 + x) + x (1 + x) + x {(1 + x)}^{2} = (1 + x) [1 + x +$ $x (1 + x)] = {(1 + x)}^{2} (1 + x) = {(1 + x)}^{3} .$

(1)、上述分解因式的方法是，共应用了次

(2)、若分解 $(1 + x) + x (1 + x) + x {(1 + x)}^{2} + \dots +$ $x {(1 + x)}^{2001}$ ，则需应用上述方法次.结果是.

(3)、分解因式： $(1 + x) + x (1 + x) + x {(1 + x)}^{2} + \dots +$ $x {(1 + x)}^{n} (n$ 为正整数).

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25. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．

(1)、观察图形，可以发现代数式2a²+5ab+2b²可以因式分解为.

(2)、若图中阴影部分的面积为242平方厘米，大长方形纸板的周长为78厘米，求图中空白部分的面积.

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