广东省广州市2023届高三数学综合测试（一）试卷

试卷更新日期：2023-03-31 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若复数 $z = 3 - 4 i$ ，则 $\frac{\bar{z}}{| z |} =$ （）

A、 $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ B、 $\frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ C、 $- \frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ D、 $- \frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$

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2. 已知集合 $A = {x \in Z ∣ x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ，则集合 $A$ 的子集个数为（）

A、3 B、4 C、8 D、16

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3. 函数 $f (x) = x - \frac{s i n x}{x^{3}}$ 在 $[- π ， π]$ 上的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知 $θ$ 为第一象限角. $s i n θ - c o s θ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $t a n 2 θ =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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5. “回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有（）

A、100个 B、125个 C、225个 D、250个

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6. 已知抛物线 $C$ 的顶点为坐标原点 $O$ ，焦点 $F$ 在 $x$ 轴上，过点 $(2 ， 0)$ 的直线交 $C$ 于 $P ， Q$ 两点，且 $O P ⊥ O Q$ ，线段 $P Q$ 的中点为 $M$ ，则直线 $M F$ 的斜率的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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7. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的四个顶点都在球 $O$ 的球面上， $P B = P C = 2 \sqrt{5} ， A B = A C = 4$ ， $P A = B C = 2$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $\frac{316}{15} π$ B、 $\frac{79}{15} π$ C、 $\frac{158}{5} π$ D、 $\frac{79}{5} π$

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8. 已知 $a ， b ， c$ 均为正实数， $e$ 为自然对数的底数，若 $a = b e^{c} ， | l n a | > | l n b |$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a + b < a b$ B、 $a^{b} < b^{a}$ C、 $c < \frac{a - b}{a + b}$ D、 $a^{2} > c + 1$

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二、多选题

9. 某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：kg）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（）

A、频率分布直方图中a的值为0.07 B、这100名学生中体重低于60kg的人数为60 C、据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62 D、据此可以估计该校学生体重的平均数约为62.5

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + φ) (- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{8}$ 对称，则（）

A、函数 $y = f (x)$ 的图像关于点 $(- \frac{π}{8} ， 0)$ 对称 B、函数 $y = f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 有且仅有2个极值点 C、若 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 2$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{4}$ D、若 $f (α - \frac{π}{8}) f (β - \frac{π}{8}) = \frac{1}{2}$ ，则 $c o s 2 (α - β) = 1 + c o s 2 (α + β)$

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11. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 (x \geq 0) ， g (x) = a e^{- x} (a > 0)$ ，点 $P ， Q$ 分別在函数 $y = f (x)$ 的 $y = g (x)$ 的图像上， $O$ 为坐标原点，则下列命题正确的是（）

A、若关于 $x$ 的方程 $f (x) - g (x) = 0$ 在 $[0 ， 1]$ 上无解，则 $a > 3 e$ B、存在 $P ， Q$ 关于直线 $y = x$ 对称 C、若存在 $P ， Q$ 关于 $y$ 轴对称，则 $0 < a \leq 2$ D、若存在 $P ， Q$ 满足 $∠ P O Q = 9 0^{∘}$ ，则 $0 < a \leq \frac{1}{2 \sqrt{2} e}$

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12. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $M (- 2 ， 0)$ ， $N (2 ， 0)$ ，动点P满足 $| P M | \cdot | P N | = 5$ ，则下列结论正确的是（）

A、点 $P$ 的横坐标的取值范围是 $[- \sqrt{5} ， \sqrt{5}]$ B、 $| O P |$ 的取值范围是 $[1 ， 3]$ C、 $△ P M N$ 面积的最大值为 $\frac{5}{2}$ D、 $| P M | + | P N |$ 的取值范围是 $[2 \sqrt{5} ， 5]$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (3 ， x) ， \vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 共线，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ .

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14. 已知 $n \in N^{*}$ ，将数列 ${2 n - 1}$ 与数列 ${n^{2} - 1}$ 的公共项从小到大排列得到新数列 ${a_{n}}$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ⋯ + \frac{1}{a_{10}} =$ .

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15. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + \infty)$ ，其导函数为 $f^{^{'}} (x)$ ，若 $x f^{'} (x) - 1 < 0$ . $f (e) = 2$ ，则关于x的不等式 $f (e^{x}) < x + 1$ 的解集为.

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16. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E ､ F$ 分别是棱 $B C ， C C_{1}$ 的中点， $P$ 是侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 上的动点.且 $P C_{1}$ $/ /$ 平面 $A E F$ ，则点 $P$ 的轨迹长为.点 $P$ 到直线 $A F$ 的距离的最小值为.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + 2^{n} = 2 a_{n} + 1$

(1)、求 $a_{1}$ ，并证明数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 是等差数列：

(2)、若 $2 a_{k}^{2} < S_{2 k}$ ，求正整数 $k$ 的所有取值.

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18. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ .已知 $a c o s^{2} \frac{C}{2} + c c o s^{2} \frac{A}{2} = \frac{3}{2} b$ .

(1)、证明： $s i n A + s i n C = 2 s i n B$ ；

(2)、若 $b = 2$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形， $\begin{matrix} B C ∥ A D ， C D ⊥ A D ， A D = 2 C D = 2 B C = 4 ， P B = 2 \sqrt{3} \end{matrix}$

(1)、求证： $A D ⊥ P B$ ；

(2)、求平面PAB与平面ABCD交角的正弦值.

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20. 为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为 $\frac{3}{4}$ ，各次答题结果互不影响.

(1)、求甲前3次答题得分之和为40分的概率；

(2)、记甲第i次答题所得分数 $X_{i} (i \in N^{*})$ 的数学期望为 $E (x_{i})$ .
①写出 $E (X_{i - 1})$ 与 $E (x_{i})$ 满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：
②若 $E (x_{i}) > 100$ ，求i的最小值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，以C的短轴为直径的圆与直线 $y = a x + 6$ 相切.

(1)、求C的方程；

(2)、直线 $l$ ： $y = k (x - 1) (k \geq 0)$ 与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为 $k^{'}$ （O为坐标原点），△APQ的面积为 $S_{1}$ . $△ B P Q$ 的面积为 $S_{2}$ ，若 $| A P | \cdot S_{2} = | B P | \cdot S_{1}$ ，判断 $k \cdot k^{'}$ 是否为定值？并说明理由.

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22. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = (1 - a x) (e^{x} - 1)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，证明：当 $x > 0$ 时， $f (x) < l n (x + 1)$ ：

(2)、若函数 $h (x) = l n (x + 1) - f (x)$ 存在极小值点 $x_{0}$ ，证明： $f (x_{0}) \geq 0$

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