甘肃省武威市2023届高三理数第一次联考试卷

试卷更新日期：2023-03-31 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} > 4}$ ， $B = {x | 8 x > 4}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $(\frac{1}{2} ， 2)$ B、 $(\frac{1}{2} ， 2]$ C、 $(2 ， + ∞)$ D、 $[2 ， + \infty)$

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2. 设复数 $z$ 在复平面内对应的点的坐标为 $(1 ， - 1)$ ，则 $(z + 2) (z + 2 i) =$ （）

A、1 B、 $4 - 2 i$ C、 $- 4 + 2 i$ D、 $4 + 2 i$

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3. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 3 ， A C = 2 ， B C > \sqrt{2}$ ，则 $c o s A$ 的范围是（）

A、 $(- 1 ， \frac{5}{6})$ B、 $(- 1 ， \frac{11}{12})$ C、 $(\frac{5}{6} ， 1)$ D、 $(\frac{11}{12} ， 1)$

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4. 某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）

A、计算 $6 + 60 + 600 + 6000$ B、计算 $6 + 60 + 600 + 6000 + 60000$ C、计算 $6 + 66 + 666 + 6666$ D、计算 $6 + 66 + 666 + 6666 + 66666$

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5. 若 $t a n (α - \frac{π}{12}) = s i n \frac{13 π}{3}$ ，则 $t a n (α - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{9}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$

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6. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y + 1 \geq 0 \\ 2 x + y - 4 \leq 0 \\ x - 2 y + 3 \geq 0 \end{array}$ ，则下列目标函数中最大值为 $0$ 的是（）

A、 $z = 3 y - x + 5$ B、 $z = 3 y - x - 5$ C、 $z = 3 y - x + 4$ D、 $z = 3 y - x - 4$

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7. 在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是 $B_{1} C_{1}$ 的中点， $A B = 2 ， A A_{1} = \sqrt{7}$ ，则 $B E$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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8. 随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机.某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投入100万元，此外每生产x辆该汽车另需增加投资g（x）万元，当该款汽车年产量低于400辆时， $g (x) = \frac{1}{80} x^{2} + \frac{9}{2} x$ ，当年产量不低于400辆时， $g (x) = 16 x + \frac{360000}{x} - 3500$ ，该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（）

A、1500万元 B、2100万元 C、2200万元 D、3800万元

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9. 将函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω} (ω > 0)$ ，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上恰有2个零点，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{7}{3} ， \frac{13}{3}]$ B、 $[\frac{7}{3} ， \frac{13}{3})$ C、 $(\frac{4}{3} ， \frac{10}{3}]$ D、 $[\frac{4}{3} ， \frac{10}{3})$

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10. 已知正三角形 $A B C$ 的边长为6， $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ， $λ \in [0 ， 1]$ ， $μ \in [0 ， 1]$ 且 $3 λ + 4 μ = 2$ ，则点 $P$ 到直线 $B C$ 距离的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、3 C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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11. 已知 $P$ 是离心率为 $2$ 的双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{m} = 1 (m > 0)$ 的右支上一点，则 $P$ 到直线 $12 x - 5 y = 0$ 的距离与 $P$ 到点 $A (- 2 ， 0)$ 的距离之和的最小值为（）

A、 $\frac{50}{13}$ B、 $\frac{42}{13}$ C、 $\frac{64}{13}$ D、 $\frac{24}{13}$

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12. 若函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2} + a l n x$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $f (x_{2})$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{1 - 2 l n 2}{4} ， 0)$ B、 $(\frac{1 - l n 2}{4} ， 0)$ C、 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ D、 $(- \frac{1}{4} ， 0)$

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二、填空题

13. 已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为 $4 π$ ， $9 π$ ，该圆台的体积为 $19 π$ ，则该圆台的高为.

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14. 将8个人分成三组，其中一组由2人组成，另外两组都由3人组成，则不同的分组方法种数为.

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15. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (2 - x)$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = a x^{3} + 2 x + a + 1$ ，则 $f (2023) =$ .

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16. $P$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上一点，曲线 $\frac{| x |}{2} + | y | = 1$ 与坐标轴的交点为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ，若 $| P A | + | P B | + | P C | + | P D | = 4 \sqrt{6}$ ，则 $P$ 到 $x$ 轴的距离为.

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三、解答题

17. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{3} = 7$ ，且 $a_{1} - a_{4} = - 7$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} + 2 n - 1$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明：当 $n \geq 5$ 时， $T_{n} \geq 56$ .

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18. 为了丰富大学生的课外生活，某高校团委组织了有奖猜谜知识竞赛，共有 $500$ 名学生参加，随机抽取了 $100$ 名学生，记录他们的分数，将其整理后分成 $4$ 组，各组区间为 $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ ，并画出如图所示的频率分布直方图 $.$

(1)、估计所有参赛学生的平均成绩 $($ 各组的数据以该组区间的中间值作代表 $)$ ；

(2)、若团委决定对所有参赛学生中成绩排在前 $50$ 名的学生进行表彰，估计获得表彰的学生的最低分数线 $.$

(3)、以这 $100$ 名学生成绩不低于 $80$ 分的频率为概率，从参赛的 $500$ 名学生中随机选 $20$ 名，其中参赛学生成绩不低于 $80$ 分的人数记为 $X$ ，求 $X$ 的方差 $.$

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是直角梯形， $A D ⊥ A B$ ， $A B / / C D$ ， $P B = C D = 2 A B = 2 A D$ ， $P D = \sqrt{2} A B$ ， $P C ⊥ D E$ ， $E$ 是棱 $P B$ 的中点．

(1)、证明： $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $\vec{A F} = λ \vec{A B}$ ，求平面 $D E F$ 与平面 $P A D$ 所成的锐二面角的余弦值的最大值．

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20. 已知直线 $y = \frac{1}{2} x - 1$ 与抛物线 $C ： x^{2} = - 2 p y (p > 0)$ 交于 $M (x_{M} ， y_{M})$ ， $N (x_{N} ， y_{N})$ 两点，且 $(x_{M} + 1) (x_{N} + 1) = - 8 .$

(1)、求 $C$ 的方程 $.$

(2)、若直线 $y = k x - \frac{3}{2} (k \neq 0)$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，点 $A$ 与点 $A^{'}$ 关于 $y$ 轴对称，试问直线 $A^{'} B$ 是否过定点？若过定点，求定点的坐标；若不过定点，说明理由 $.$

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x + 3}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $(- 3 ， + \infty)$ 上的极值；

(2)、若 $\forall x \in (- 3 ， + \infty) ， \frac{1}{f (x)} - 3 \leq a x^{2} - 2 x$ ，求 $a$ 的最小值．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s α ， \\ y = 3 s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数）.以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $2 ρ c o s θ + ρ s i n θ - 6 = 0$ .

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、过曲线 $C$ 上任意一点 $P$ 作与直线 $l$ 的夹角为45°的直线，且与 $l$ 交于点 $A$ ，求 $| P A |$ 的最小值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 1 | - | x - 2 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 8$ 的解集；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - | x - 2 |$ 的最大值为 $m$ ，若正数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = m$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{9}{b}$ 的最小值.

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