福建省厦门市2023届高三下学期数学第二次质量检测试卷

试卷更新日期：2023-03-31 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 复数z₁ ， z₂在复平面内对应的点分别为（1，2），（0，-1），则z₁z₂＝（）

A、1+i B、2-i C、-2i D、-2-i

查看试题解析
2. ${(a x + y)}^{5}$ 的展开式中x²y³项的系数等于80，则实数a＝（）

A、2 B、±2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、± $2 \sqrt{2}$

查看试题解析
3. 不等式 $a x^{2} - 2 x + 1 > 0$ （ $a \in R$ ）恒成立的一个充分不必要条件是（）

A、a≥1 B、a＞1 C、 $0 ＜ a ＜ \frac{1}{2}$ D、a＞2

查看试题解析
4. 西施壶是紫砂壶器众多款式中最经典的壶型之一，是一款非常实用的泡茶工具（如图1）．西施壶的壶身可近似看成一个球体截去上下两个相同的球缺的几何体．球缺的体积 $V ＝ \frac{π(3 R - h) h^{2}}{3}$ （R为球缺所在球的半径，h为球缺的高）．若一个西施壶的壶身高为8cm，壶口直径为6cm（如图2），则该壶壶身的容积约为（不考虑壶壁厚度，π取3.14）（）

A、494mL B、506mL C、509mL D、516mL

查看试题解析
5. 厦门山海健康步道云海线全长约23公里，起于东渡邮轮广场，终于观音山沙滩，沿线申联贸鸟湖、狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山、湖边水库、五缘湾、虎仔山、观音山等“八山三水”．市民甲计划从“八山三水”这11个景点中随机选取相邻的3个游览，则选取的景点中有“水”的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{109}{165}$

查看试题解析
6. 如图， $c o s (θ + \frac{3 π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

查看试题解析
7. 圆 $O$ 为锐角 $△ A B C$ 的外接圆， $A C = 2 A B = 2$ ，点 $P$ 在圆 $O$ 上，则 $\vec{B P} \cdot \vec{A O}$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{1}{2} ， 4)$ B、 $[0 ， 2)$ C、 $[- \frac{1}{2} ， 2)$ D、 $[0 ， 4)$

查看试题解析
8. 已知 $a ＝ \frac{9 - e}{3 + e}$ ， $b ＝ l n 3$ ， $c ＝ 2 l n 2 - \frac{2}{7}$ ，则（）

A、c＞b＞a B、a＞b＞c C、c＞a＞b D、b＞a＞c

查看试题解析

二、多选题

9. 李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（）

A、P(X＞32)＞P(Y＞32) B、P(X≤36)＝P(Y≤36) C、李明计划7：34前到校，应选择坐公交车 D、李明计划7：40前到校，应选择骑自行车

查看试题解析
10. 函数f(x)＝b（x-a）²（x-b）的图象可以是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
11. 如图的六面体中，CA＝CB＝CD＝1，AB＝BD＝AD＝AE＝BE＝DE＝ $\sqrt{2}$ ，则（）

A、CD⊥平面ABC B、AC与BE所成角的大小为 $\frac{π}{3}$ C、 $C E ＝ \sqrt{3}$ D、该六面体外接球的表面积为3π

查看试题解析
12. 定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = f (2 + x) + 4 x$ ，函数 $f (2 x + 1)$ 的图象关于 $(0 ， 2)$ 对称，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $(1 ， 2)$ 对称 B、4是 $f (x)$ 的一个周期 C、 $f (2) = 4$ D、 $f (2023) = - 4042$

查看试题解析

三、填空题

13. 将函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $φ (0 ＜ φ ＜ \frac{π}{2})$ 个单位长度．得到函数g(x)的图象，若g(x)是奇函数，则φ＝．

查看试题解析
14. 写出与直线 $x = 1 ，$ $y = 1 ，$ 和圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 都相切的一个圆的方程．

查看试题解析
15. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}} ， a_{1} = 2 ， n \in N^{*}$ ，若 $T_{n} = a_{1} a_{2} ⋯ a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $T_{10}$ ＝．

查看试题解析
16. 不与x轴重合的直线l过点N（ $x_{N}$ ， 0）（xN≠0），双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} ＝ 1$ （a＞0，b＞0）上存在两点A、B关于l对称，AB中点M的横坐标为 $x_{M}$ ．若 $x_{N} = 4 x_{M}$ ，则C的离心率为．

查看试题解析

四、解答题

17. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $2 a - c = 2 b c o s C$ ．

(1)、求B；

(2)、A的角平分线与C的角平分线相交于点D， $A D = 3$ ， $C D = 5$ ，求 $A C$ 和 $B D$ ．

查看试题解析
18. 如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥AD，A₁D⊥BD₁ ．

(1)、证明：四边形ADD₁A₁为正方形；

(2)、若直线BD₁与平面ABCD所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ， CD＝2AB，求平面ABD₁与平面BCD₁的夹角的大小．

查看试题解析
19. 记等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ；等比数列 ${b_{n}}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，已知 $b_{3} ＝ 4 a_{1}$ ， $S_{4} ＝ b_{3} + 6$ ， $T_{3} ＝ 7 a_{1}$ ．

(1)、求 $d$ 和 $q$ ；

(2)、若 $a_{1} ＝ 1$ ， $q ＞ 0$ ， $c_{n} ＝ {\begin{array}{l} - a_{n} b_{n + 1} ， n 为奇数， \\ a_{n} b_{n} ， n 为偶数， \end{array}$ 求 ${c_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和．

查看试题解析
20. 移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W与年份代码t的散点图，其中年份2018-2022对应的t分别为1~5．
附：样本相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (w_{i} - \bar{w})}{\sqrt{{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t})}^{2}} \sqrt{{\sum_{i = 1}^{n} (w_{i} - \bar{w})}^{2}}}$ ， ${\sum_{i = 1}^{5} (w_{i} - \bar{w})}^{2} = 76.9$ ， $\sum_{i = 1}^{5} (t_{i} - \bar{t}) (w_{i} - \bar{w}) = 27.2$ ， $\sum_{i = 1}^{5} w_{i} = 60.8$ ， $\sqrt{769} \approx 27.7$

(1)、根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；

(2)、(i)假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x₁ ， y₁)，(x₂ ， y₂)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型 ${\begin{array}{l} Y = b x + e \\ E (e) = 0 ， D (e) = σ^{2} \end{array}$ （随机误差 $e_{i} = y_{i} - b x_{i}$ ）．请推导：当随机误差平方和Q＝ $\sum_{i = 1}^{n} e_{i}^{2}$ 取得最小值时，参数b的最小二乘估计．
(ii)令变量 $x = t - \bar{t} ， y = w - \bar{w}$ ，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型 ${\begin{array}{l} Y = b x + e \\ E (e) = 0 ， D (e) = σ^{2} \end{array}$ 利用(i)中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x - a$ （a∈R）．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性：

(2)、证明：对任意 $a \in (0 ， 1)$ ，存在正数b使得 $a e^{b} = a + b$ ．且2lna+b＜0．

查看试题解析
22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} ＝ 1$ （a＞b＞0）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，过F₁的直线l交C丁A．B两点．当l⊥x轴时，△ABF₂的面积为3．

(1)、求C的方程；

(2)、是否存在定圆E，使其与以AB为直径的圆内切？若存在，求出所有满足条件的圆E的方程；若不存在，请说明理由．

查看试题解析