东北三省三校2023届高三数学第一次联合模拟考试试卷

试卷更新日期：2023-03-31 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | x^{2} - x - 2 \leq 0}$ ，集合 $B = {x | y = \sqrt{1 - l o g_{2} x}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[- 1 ， 2]$ B、 $(1 ， 2]$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 1 ， 2}$

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2. 已知i为虚数单位，复数z满足 $| z - (3 + 2 i) | = 1$ ，则复数z对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知向量非零 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，且向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 方向的投影向量是 $\frac{1}{4} \vec{a}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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4. 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等.
我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和.
$1 + 1 + 1 + \cdot \cdot \cdot + 1 = n$ ；
$1 + 2 + 3 + \cdot \cdot \cdot + C_{n - 1}^{1} = C_{n}^{2}$
若杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，15，…构成数列 ${a_{n}}$ ，则关于数列 ${a_{n}}$ 叙述正确的是（）

A、 $a_{n} + a_{n + 1} = {(n + 1)}^{2}$ B、 $a_{n} + a_{n + 1} = n^{2}$ C、数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $C_{n}^{3}$ D、数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $C_{n + 1}^{2}$

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5. 若 $s i n (2 α + \frac{π}{6}) + c o s 2 α = \sqrt{3}$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、1 C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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6. “阿基米德多面体”这称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知 $A B = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，则该半正多面体外接球的表面积为（）

A、18π B、16π C、14π D、12π

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7. 某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域（如图），现要在每个区域栽种一种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没有公共边）区域的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (x + 1) l n x ， x > 0 \\ k x - l n (- x) + k ， x < 0 \end{array}$ ，若关于x的方程 $f (- x) = - f (x)$ 有且仅有四个相异实根，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{e - 1})$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， \frac{1}{e - 1}) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(0 ， 1) ∪ (1 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （其中A， $ω$ ， $φ$ 是常数， $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[- \sqrt{2} ， \sqrt{2}]$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为π C、 $φ = \frac{π}{6}$ D、将函数f（x）的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $g (x) = \sqrt{2} c o s 2 x$ 的图象

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10. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线C： $y^{2} = 8 x$ ， O为坐标原点，一条平行于x轴的光线 $l_{1}$ 从点M（5，2）射入，经过C上的点P反射，再经过C上另一点Q反射后，沿直线 $l_{2}$ 射出，经过点N.下列说法正确的是（）

A、 $| P Q | = 8$ B、若延长PO交直线 $x = - 2$ 于D，则点D在直线 $l_{2}$ 上 C、MQ平分∠PQN D、抛物线C在点P处的切线分别与直线 $l_{1}$ 、FP所成角相等

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11. 已知实数a，b满足 $a^{2} - a b + b = 0 (a > 1)$ ，下列结论中正确的是（）

A、 $b > a$ B、 $b \geq 4$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > 1$ D、 $e^{b} + \frac{1}{e^{a}} + 2 a > e^{a} + \frac{1}{e^{b}} + 2 b$

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12. 已知异面直线 $a$ 与直线 $b$ ，所成角为 $6 0^{∘}$ ，平面 $α$ 与平面 $β$ 所成的二面角为 $8 0^{∘}$ ，直线 $a$ 与平面 $α$ 所成的角为 $1 5^{∘}$ ，点 $P$ 为平面 $α$ 、 $β$ 外一定点，则下列结论正确的是（）

A、过点 $P$ 且与直线 $a$ 、 $b$ 所成角均为 $3 0^{∘}$ 的直线有3条 B、过点 $P$ 且与平面 $α$ 、 $β$ 所成角都是 $3 0^{∘}$ 的直线有4条 C、过点 $P$ 作与平面 $α$ 成 $5 5^{∘}$ 角的直线，可以作无数条 D、过点 $P$ 作与平面 $α$ 成 $5 5^{∘}$ 角，且与直线 $a$ 成 $6 0^{∘}$ 的直线，可以作3条

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三、填空题

13. ${(2 x - y)}^{6}$ 的二项展开式中 $x^{2} y^{4}$ 的系数是.（用数字作答）

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14. 若 $f (x) = \frac{a + 1}{e^{x} - 1} + 1$ 为奇函数，则实数 $a =$ .

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15. 已知圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ ，直线 $y = k x + 1$ 交圆 $C$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，若 $△ C M N$ 的面积为 $2$ ，则实数 $k$ 的值为.

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16. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $A$ 、 $B$ 在椭圆C上，满足 $\vec{A F_{2}} \cdot \vec{F_{1} F_{2}} = 0$ ， $\vec{A F_{1}} = λ \vec{F_{1} B}$ ，若椭圆C的离心率 $e \in [\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ ，则实数λ取值范围为.

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四、解答题

17. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
① $a^{2} - c^{2} = b c$ ；② $b + b c o s A = \sqrt{3} a s i n B$ ；③ $s i n A = \sqrt{3} s i n C$ .
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，记 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{4} - 2 a_{2} a_{3} + 14 = 0$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 公差 $d > 1$ ，令 $c_{n} = \frac{a_{n + 2}}{a_{n} \cdot a_{n + 1} \cdot 2^{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为菱形， $A C ⊥ P E$ ， $P A = P D$ ， E为棱AB的中点.

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD；

(2)、若 $P A = A D$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，求二面角 $E - P D - A$ 的正弦值.

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20. 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月（30天）完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：
天数
[0，5]
（5，10]
（10，15]
（15，20]
（20，25]
（25，30]
人数
4
15
33
31
11
6
附：参考数据： $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) = 0.6827$ ； $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ； $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ . $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} (n = a + b + c + d)$
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

(1)、由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中μ近似为样本的平均数（每组数据取区间的中间值），且 $σ = 6.1$ ，若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数（精确到1）；

(2)、调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15，30]的学生中有30名男生，天数在[0，15]的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号.请填写下面列联表：
性别
活动天数
合计
[0，15]
（15，30]
男生
女生
合计
并依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响.

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21. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 过点 $A (3 ， - \sqrt{2})$ ，且渐近线方程为 $x \pm \sqrt{3} y = 0$ .

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、如图，过点 $B (1 ， 0)$ 的直线l交双曲线C于点M、N.直线MA、NA分别交直线 $x = 1$ 于点P、Q，求 $\frac{| P B |}{| B Q |}$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{2} e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - \frac{x^{2}}{2}$ ， $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数.

(1)、讨论 $f^{'} (x)$ 的单调性；

(2)、若 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 为 $f (x)$ 的极值点，证明： $x_{2} - x_{1} < l n (3 - a) - l n a + \frac{2}{a} - 1$ .

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天数	[0，5]	（5，10]	（10，15]	（15，20]	（20，25]	（25，30]
人数	4	15	33	31	11	6

性别	活动天数		合计
性别	[0，15]	（15，30]	合计
男生
女生
合计

α	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828