北京市石景山区2023届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2023-03-31 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 2}$ ， $B = {x | x^{2} + x - 2 \leq 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[- 2 ， 2]$ B、 $[- 2 ， 1]$ C、 $[0 ， 1]$ D、 $[0 ， 2]$

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2. 在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标为 $(- 2 ， - 1)$ ，则 $\frac{z}{i} =$ （）

A、 $- 1 - 2 i$ B、 $- 2 - i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $2 - i$

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3. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的离心率是2，则 $b =$ （）

A、12 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（）

A、 $f (x) = s i n x$ B、 $f (x) = 2^{| x |}$ C、 $f (x) = x^{3} + x$ D、 $f (x) = \frac{1}{2} (e^{- x} - e^{x})$

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5. 设 $x > 0$ ， $y > 0$ ，则“ $x + y = 2$ ”是“ $x y \leq 1$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足：对任意的 $m ， n \in N^{*}$ ，都有 $a_{m} a_{n} = a_{m + n}$ ，且 $a_{2} = 3$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、 $3^{4}$ B、 $3^{5}$ C、 $3^{6}$ D、 $3^{10}$

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7. 若函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $φ$ 的值是（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{12}$

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8. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 $v$ （单位： $k m / s$ ）与燃料的质量 $M$ （单位： $k g$ ），火箭（除燃料外）的质量 $m$ （单位： $k g$ ）的函数关系是 $v = 2000 l n (1 + \frac{M}{m})$ ．当燃料质量与火箭质量的比值为 $t_{0}$ 时，火箭的最大速度可达到 $v_{0} k m / s$ ．若要使火箭的最大速度达到 $2 v_{0} k m / s$ ，则燃料质量与火箭质量的比值应为（）

A、 $2 t_{0}^{2}$ B、 $t_{0}^{2} + t_{0}$ C、 $2 t_{0}$ D、 $t_{0}^{2} + 2 t_{0}$

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9. 已知直线 $l$ ： $k x - y - 2 k + 2 = 0$ 被圆 $C$ ： $x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 25$ 所截得的弦长为整数，则满足条件的直线 $l$ 有（）

A、6条 B、7条 C、8条 D、9条

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10. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $P$ 为正方形 $A B C D$ 所在平面内一动点，给出下列三个命题：
①若点 $P$ 总满足 $P D_{1} ⊥ D C_{1}$ ，则动点 $P$ 的轨迹是一条直线；
②若点 $P$ 到直线 $B B_{1}$ 与到平面 $C D D_{1} C_{1}$ 的距离相等，则动点 $P$ 的轨迹是抛物线；
③若点 $P$ 到直线 $D D_{1}$ 的距离与到点 $C$ 的距离之和为2，则动点 $P$ 的轨迹是椭圆.
其中正确的命题个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

11. 向量 $\vec{a} = (2 s i n θ ， c o s θ)$ ， $\vec{b} = (1 ， 1)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $t a n θ =$ .

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12. 抛物线 $C$ ： $x^{2} = 4 y$ 的焦点坐标为，若抛物线 $C$ 上一点 $M$ 的纵坐标为2，则点 $M$ 到抛物线焦点的距离为.

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13. 若 ${(x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中含有常数项，则正整数 $n$ 的一个取值为.

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} - 3 x ， x \leq a \\ - x ， x > a \end{array}$ ， ①若 $a = 0$ ，则 $f (x)$ 的最大值为；②若 $f (x)$ 无最大值，则实数 $a$ 的取值范围是.

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15. 项数为 $k (k \in N^{*} ， k \geq 2)$ 的有限数列 ${a_{n}}$ 的各项均不小于 $- 1$ 的整数，满足 $a_{1} \cdot 2^{k - 1} + a_{2} \cdot 2^{k - 2} + a_{3} \cdot 2^{k - 3} + \cdot \cdot \cdot + a_{k - 1} \cdot 2 + a_{k} = 0$ ，其中 $a_{1} \neq 0$ .给出下列四个结论：
①若 $k = 2$ ，则 $a_{2} = 2$ ；
②若 $k = 3$ ，则满足条件的数列 ${a_{n}}$ 有4个；
③存在 $a_{1} = 1$ 的数列 ${a_{n}}$ ；
④所有满足条件的数列 ${a_{n}}$ 中，首项相同.
其中所有正确结论的序号是.

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三、解答题

16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 4 \sqrt{2}$ ， $C = \frac{π}{6}$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上， $c o s ∠ A D B = \frac{1}{3}$ .

(1)、求 $A D$ 的长；

(2)、若 $△ A B D$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，求 $A B$ 的长.

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17. 某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1，2，3三组.观察一段时间后，分别从1，2，3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.
株高增量（单位：厘米）
$(4 ， 7]$
$(7 ， 10]$
$(10 ， 13]$
$(13 ， 16]$
第1组鸡冠花株数
9
20
9
2
第2组鸡冠花株数
4
16
16
4
第3组鸡冠花株数
13
12
13
2
假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.

(1)、从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为 $(7 ， 10]$ 厘米的概率；

(2)、分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有 $X$ 株的株高增量为 $(7 ， 10]$ 厘米，求 $X$ 的分布列和数学期望 $E X$ ；

(3)、用“ $ξ_{k} = 1$ ”表示第 $k$ 组鸡冠花的株高增量为 $(4 ， 10]$ ， “ $ξ_{k} = 0$ ”表示第 $k$ 组鸡冠花的株高增量为 $(10 ， 16]$ 厘米， $k = 1 ， 2 ， 3$ ，直接写出方差 $D ξ_{1}$ ， $D ξ_{2}$ ， $D ξ_{3}$ 的大小关系.（结论不要求证明）

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形，侧面 $P A D$ 为等腰直角三角形，且 $∠ P A D = \frac{π}{2}$ ，点 $F$ 为棱 $P C$ 上的点，平面 $A D F$ 与棱 $P B$ 交于点 $E$ .

(1)、求证： $E F / / A D$ ；

(2)、从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面 $P C D$ 与平面 $A D F E$ 所成锐二面角的大小.
条件①： $A E = \sqrt{2}$ ；
条件②：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；
条件③： $P B ⊥ F D$ .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

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19. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(0 ， \sqrt{3})$ ，且离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P (- 1 ， 1)$ 且互相垂直的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交椭圆 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点及 $S ， T$ 两点.求 $\frac{| P M | | P N |}{| P S | | P T |}$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 1 - m s i n x (m \in R)$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，
（ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；
（ⅱ）求证： $\forall x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $f (x) > 0$ .

(2)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上恰有一个极值点，求 $m$ 的取值范围.

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21. 若无穷数列 ${a_{n}}$ 满足以下两个条件，则称该数列为 $τ$ 数列.
① $a_{1} = 1$ ，当 $n \geq 2$ 时， $| a_{n} - 2 | = | a_{n - 1} + 2 |$ ；
②若存在某一项 $a_{m} \leq - 5$ ，则存在 $k \in {1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， m - 1}$ ，使得 $a_{k} = a_{m} + 4$ （ $m \geq 2$ 且 $m \in N^{*}$ ）.

(1)、若 $a_{2} < 0$ ，写出所有 $τ$ 数列的前四项；

(2)、若 $a_{2} > 0$ ，判断 $τ$ 数列是否为等差数列，请说明理由；

(3)、在所有的 $τ$ 数列中，求满足 $a_{m} = - 2021$ 的 $m$ 的最小值.

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株高增量（单位：厘米）	$(4 ， 7]$	$(7 ， 10]$	$(10 ， 13]$	$(13 ， 16]$
第1组鸡冠花株数	9	20	9	2
第2组鸡冠花株数	4	16	16	4
第3组鸡冠花株数	13	12	13	2