北京市丰台区2023届高三下学期数学3月一模试卷

试卷更新日期：2023-03-31 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 1}$ ， $B = {x | 0 < x ≤ 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 \leq x \leq 1}$ B、 ${x | 0 < x \leq 1}$ C、 ${x | 0 < x \leq 2}$ D、 ${x | - 1 \leq x \leq 2}$

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2. 设 $a ， b ， c \in R$ ，且 $a > b$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a^{2} > b^{2}$ C、 $a - c > b - c$ D、 $a c > b c$

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3. 已知圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 与 $y$ 轴相切，则 $r =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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4. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = l o g_{2} x$ ，则 $f (- 2) =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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5. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若角 $α$ 以 $x$ 轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $α$ 的一个可能取值为（）

A、 $- 60 °$ B、 $- 30 °$ C、 $45 °$ D、 $60 °$

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6. 在 $△ A B C$ 中，若 $2 c o s A s i n B = s i n C$ ，则该三角形的形状一定是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

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7. 设无穷等差数列| ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则“对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n} > 0$ ”是“数列 ${S_{n}}$ 为递增数列”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的顶点是坐标原点O，焦点为F，A是抛物线C上的一点，点A到x轴的距离为 $2 \sqrt{2}$ ．过点A向抛物线C的准线作垂线、垂足为B．若四边形ABOF为等腰梯形，则p的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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9. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，存在常数 $t (t > 0)$ ，使得对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x + t) = f (x)$ ，当 $x \in [0 ， t)$ 时， $f (x) = | x - \frac{t}{2} |$ ．若 $f (x)$ 在区间 $(3 ， 4)$ 上单调递减，则t的最小值为（）

A、3 B、 $\frac{8}{3}$ C、2 D、 $\frac{8}{5}$

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10. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A C = 2$ ， $B C = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，点 $D$ 在棱 $A C$ 上，点 $E$ 在棱 $B B_{1}$ 上，给出下列三个结论：
①三棱锥 $E - A B D$ 的体积的最大值为 $\frac{2}{3}$ ；
② $A_{1} D + D B$ 的最小值为 $\sqrt{2} + \sqrt{5}$ ；
③点 $D$ 到直线 $C_{1} E$ 的距离的最小值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．
其中所有正确结论的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

11. 若复数 $\frac{a + i}{1 + i} (a \in R)$ 是纯虚数，则 $a =$ ．

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12. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $2$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} =$ ．

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13. 从 $- 2$ ， $- 1$ ， $1$ ， $2$ ， $3$ 这 $5$ 个数中任取 $2$ 个不同的数，记“两数之积为正数”为事件 $A$ ， “两数均为负数为事件 $B$ ．则 $P (B | A) =$ ．

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a - x ， x < a ， \\ x^{3} - x ， x \geq a . \end{array}$ 若 $f (x)$ 存在最小值，则a的一个取值为；a的最大值为．

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15. 三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题．古希腊数学家Pappus（约300~350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A，B两点；取线段AB的三等分点O，D；以B为焦点，A，D为顶点作双曲线H．双曲线H与弧AB的交点记为E，连接CE，则 $∠ B C E = \frac{1}{3} ∠ A C B$ ．
①双曲线H的离心率为；
②若 $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ， $| A C | = 3 \sqrt{2}$ ， CE交AB于点P，则 $| O P | =$ ．

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三、解答题

16. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) s i n x$ ，求 $g (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值．

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O， $∠ B A D = 60 °$ ， $P B = P D$ ．点E是棱PA的中点，连接OE，OP．

(1)、求证： $O E / /$ 平面PCD；

(2)、若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求线段OP的长．
条件①：平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；
条件②： $P B ⊥ A C$ ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

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18. 交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI的公式为： $T P I = \frac{实际行程时间}{畅通行程时间}$ ，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：
TPI
$[1 ， 1.5)$
$[1.5 ， 2)$
$[2 ， 4)$
不低于4
拥堵等级
畅通
缓行
拥堵
严重拥堵
某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TP1的统计数据如下图：

(1)、从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；

(2)、从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ ；

(3)、把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次记为 $a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{7}$ ，将2022年同期TPI依次记为 $b_{1} ， b_{2} ， ⋯ ， b_{7}$ ，记 $c_{i} = a_{i} - b_{i} (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 7)$ ， $\bar{c} = \frac{1}{7} \sum_{i = 1}^{n} c_{i}$ ．请直接写出 $| c_{i} - \bar{c} |$ 取得最大值时 $i$ 的值．

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19. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $A (0 ， 1)$ ，焦距为2．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、过点 $P (2 ， 0)$ 的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线 $l ： x = t$ 的垂线（点B，C在直线l的两侧）．垂足分别为M，N，记 $△ B M P$ ， $△ M N P$ ， $△ C N P$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，试问：是否存在常数t，使得 $S_{1}$ ， $\frac{1}{2} S_{2}$ ， $S_{3}$ 总成等比数列？若存在，求出t的值．若不存在，请说明理由．

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20. 已知函数 $f (x) = x + \frac{a}{e^{x}} (a > 0)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个不相等的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．
（i）求a的取值范围；
（ii）证明： $x_{1} + x_{2} > 2 l n a$ ．

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21. 已知集合 $S_{n} = {1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， 2 n} (n \in N * ， n \geq 4)$ ，对于集合 $S_{n}$ 的非空子集 $A$ ．若 $S_{n}$ 中存在三个互不相同的元素 $a$ ， $b$ ， $c$ ，使得 $a + b$ ， $b + c$ ， $c + a$ 均属于 $A$ ，则称集合 $A$ 是集合 $S_{n}$ 的“期待子集”．

(1)、试判断集合 $A_{1} = {3 ， 4 ， 5}$ ， $A_{2} = {3 ， 5 ， 7}$ 是否为集合 $S_{4}$ 的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）

(2)、如果一个集合中含有三个元素 $x$ ， $y$ ， $z$ ，同时满足① $x < y < z$ ， ② $x + y > z$ ， ③ $x + y + z$ 为偶数．那么称该集合具有性质 $P$ ．对于集合 $S_{n}$ 的非空子集 $A$ ，证明：集合 $A$ 是集合 $S_{n}$ 的“期待子集”的充要条件是集合 $A$ 具有性质 $P$ ；

(3)、若 $S_{n} (n \geq 4)$ 的任意含有 $m$ 个元素的子集都是集合 $S_{n}$ 的“期待子集”，求 $m$ 的最小值．

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TPI	$[1 ， 1.5)$	$[1.5 ， 2)$	$[2 ， 4)$	不低于4
拥堵等级	畅通	缓行	拥堵	严重拥堵