北京市大兴区2023届高三下学期数学摸底检测试题

试卷更新日期：2023-03-31 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {x \in N | - 2 < x < 5}$ ，集合 $A = {0 ， 1 ， 2}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${0 ， 2 ， 3}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 2 ， 3}$ C、 ${- 1 ， 3 ， 4}$ D、 ${3 ， 4}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 3 - 4 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、5 C、7 D、25

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3. 若 $α$ 为任意角，则满足 $\cos (α + k \cdot \frac{π}{4}) = \cos α$ 的一个 $k$ 值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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4. 在人类中，双眼皮由显性基因 $A$ 控制，单眼皮由隐性基因 $a$ 控制．当一个人的基因型为 $A A$ 或 $A a$ 时，这个人就是双眼皮，当一个人的基因型为 $a a$ 时，这个人就是单眼皮．随机从父母的基因中各选出一个 $A$ 或者 $a$ 基因遗传给孩子组合成新的基因．根据以上信息，则“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知三个函数y=x³ ， y=3^x ， $y = l o g_{3} x$ ，则（）

A、定义域都为R B、值域都为R C、在其定义域上都是增函数 D、都是奇函数

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6. 双曲线C：x² $- \frac{y^{2}}{b^{2}} =$ 1的渐近线与直线x=1交于A，B两点，且|AB|=4，那么双曲线C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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7. 设 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和.已知 $a_{1} \cdot a_{3} = 16$ ， $S_{3} = 14$ ，若存在 $n_{0}$ 使得 $a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{n_{0}}$ 的乘积最大，则 $n_{0}$ 的一个可能值是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8. 一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分．规定正确的画√，错误的画╳．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则m的值为（　　）
题号学生
1
2
3
4
5
6
7
8
得分
甲
╳
√
╳
√
╳
╳
√
╳
30
乙
╳
╳
√
√
√
╳
╳
√
25
丙
√
╳
╳
╳
√
√
√
╳
25
丁
╳
√
╳
√
√
╳
√
√
m

A、35 B、30 C、25 D、20

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9. 点P在函数y＝e^x的图象上．若满足到直线y＝x+a的距离为 $\sqrt{2}$ 的点P有且仅有3个，则实数a的值为（　　）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、4

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10. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $O$ 为底面 $A B C D$ 的中心，点 $P$ 在侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 的边界及其内部运动．若 $D_{1} O ⊥ O P$ ，则 $△ D_{1} C_{1} P$ 面积的最大值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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二、填空题

11. 在 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{x})}^{6}$ 的二项展开式中，常数项为．（用数字作答）

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12. 能说明“若 $m (n + 2) \neq 0$ ，则方程 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n + 2} = 1$ 表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组 $m ， n$ 的值是.

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13. 在 $△ A B C$ 中， $a = 4$ ， $c o s A = \frac{3}{5}$ ， $c o s B = \frac{4}{5}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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14. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ， $O$ 为 $A B$ 的中点. 当点 $P$ 在 $B C$ 边上时， $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{O P}$ 的值为；当点 $P$ 沿着 $B C$ ， $C D$ 与 $D A$ 边运动时， $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{O P}$ 的最小值为.

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15. 曲线C： $\sqrt{{(x + 1)}^{2} + y^{2}} \cdot \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} = 3$ ，点P在曲线C上．给出下列三个结论：
①曲线C关于y轴对称；
②曲线C上的点的横坐标的取值范围是[﹣2，2]；
③若A（﹣1，0），B（1，0），则存在点P，使△PAB的面积大于 $\frac{3}{2}$ ．
其中，所有正确结论的序号是．

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三、解答题

16. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 同时满足下列四个条件中的三个：① $f (- \frac{π}{6}) = 0$ ；② $f (0) = - 1$ ；③最大值为2；④最小正周期为 $π$ .

(1)、给出函数 $f (x)$ 的解析式，并说明理由；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间.

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17. 如图，四边形 $A B C D$ 为正方形， $M A$ $/ /$ $P B$ ， $M A ⊥ B C$ ， $A B ⊥ P B$ ， $M A = 1$ ， $A B = P B = 2$ .

(1)、求证： $P B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $P D M$ 所成角的正弦值.

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18. 为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：

(1)、现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查.求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；

(2)、现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；

(3)、某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.

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19. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距和长半轴长都为2.过椭圆 $C$ 的右焦点 $F$ 作斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设点 $A$ 是椭圆 $C$ 的左顶点，直线 $A P$ ， $A Q$ 分别与直线 $x = 4$ 相交于点 $M$ ， $N$ .求证：以 $M N$ 为直径的圆恒过点 $F$ .

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} ， a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $A (0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $a = - 1$ 时，试写出方程 $f (x) = 1$ 根的个数.(只需写出结论)

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21. 设集合 $A = {a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4}}$ ，其中 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4}$ 是正整数，记 $S_{A} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ ．对于 $a_{i}$ ， $a_{j} \in A (1 \leq i < j \leq 4)$ ，若存在整数k，满足 $k (a_{i} + a_{j}) = S_{A}$ ，则称 $a_{i} + a_{j}$ 整除 $S_{A}$ ，设 $n_{A}$ 是满足 $a_{i} + a_{j}$ 整除 $S_{A}$ 的数对 $(i ， j) (i < j)$ 的个数．

(1)、若 $A = {1 ， 2 ， 4 ， 8}$ ， $B = {1 ， 5 ， 7 ， 11}$ ，写出 $n_{A}$ ， $n_{B}$ 的值；

(2)、求 $n_{A}$ 的最大值；

(3)、设A中最小的元素为a，求使得 $n_{A}$ 取到最大值时的所有集合A．

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题号学生	1	2	3	4	5	6	7	8	得分
甲	╳	√	╳	√	╳	╳	√	╳	30
乙	╳	╳	√	√	√	╳	╳	√	25
丙	√	╳	╳	╳	√	√	√	╳	25
丁	╳	√	╳	√	√	╳	√	√	m