百师联盟2023届高三上学期数学1月联考试题

试卷更新日期：2023-03-31 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若 $(1 + 2 a i) i = 1 - b i$ ，其中 $a ， b \in R$ ，则 $| 1 + a + b i | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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2. 设集合 $A = {x ∣ x < 2$ 或 $x \geq 4} ， B = {x ∣ a \leq x \leq a + 1}$ ，若 $(∁_{R} A) ∩ B = \emptyset$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq 1$ 或 $a > 4$ B、 $a < 1$ 或 $a \geq 4$ C、 $a < 1$ D、 $a > 4$

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3. $p ： s i n θ > 0 ， q ： θ$ 是第一象限角或第二象限角，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 成等差数列， $a_{2} + a_{3} + a_{4} = - 18$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、-96 B、-48 C、48 D、96

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5. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x + 4 c o s x$ 在 $x = φ$ 处取得最大值，则 $c o s φ =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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6. 在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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7. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $P (5 ， 0)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A ， B$ 两点， $O$ 为坐标原点，记 $△ A B O$ 与 $△ A F O$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，则 $S_{1} + 3 S_{2}$ 的最小值为（）

A、 $8 \sqrt{2}$ B、 $20 \sqrt{2}$ C、 $24 \sqrt{2}$ D、 $32 \sqrt{2}$

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8. 设 $a = \frac{1}{5} ， b = l n \frac{11}{9} ， c = s i n \frac{1}{5}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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二、多选题

9. 若 $a > 0 > b > c$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{a}{c} > \frac{a}{b}$ B、 $b^{2 a} > c^{2 a}$ C、 $\frac{a - b}{a - c} > \frac{b}{c}$ D、 $a - c \geq 2 \sqrt{(a - b) (b - c)}$

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10. 已知 $A (- 10 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ，动点P满足 $\vec{A P} \cdot \vec{B P} = - 20$ ．设点P的轨迹为曲线C，直线l： $x - a y + 1 + a = 0$ 与曲线C交于D，E两点，则下列结论正确的是（）

A、曲线C的方程为 ${(x + 4)}^{2} + y^{2} = 16$ B、 $| P A |$ 的取值范围为 $[2 ， 10]$ C、当 $| D E |$ 最小时， $a = - 3$ D、当 $| D E |$ 最大时， $a = 3$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 s i n^{2} x - 3 s i n | x | + 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{4} ， 0)$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 在 $[- π ， π]$ 上有4个零点 D、 $f (x)$ 的值域是 $[0 ， 6]$

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12. 如图所示，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = A_{1} B_{1} = 2 ， A D = 1 ， O$ 是 $B_{1} D_{1}$ 的中点，直线 $A_{1} C$ 交平面 $A B_{1} D_{1}$ 于点 $M$ ，则（）

A、 $A ， M ， O$ 三点共线 B、 $A_{1} M$ 的长度为1 C、直线 $A O$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ D、 $△ A_{1} M O$ 的面积为 $\frac{\sqrt{5}}{6}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 4 x ， x \leq 0 \\ l o g_{4} x ， x > 0 \end{array}$ 则 $f (f (\frac{1}{4})) =$ ．

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14. 已知向量 $\vec{a} = (- 4 ， - 3) ， \vec{b} = (- 2 ， m - 1)$ ，若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $m =$ .

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15. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对任意实数a，b都有 $f (a + b) = f (a) + f (b) - 1$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) > 1$ ．若 $f (2) = 3$ ，则不等式 $f (x^{2} - x - 1) < 2$ 的解集为．

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，虚轴的上端点为 $A ， M ， N$ 是 $C$ 上的两点， $P$ 是 $M N$ 的中点， $O$ 为坐标原点，直线 $O P$ 的斜率为 $- \frac{1}{2}$ ，若 $A F ∥ M N$ ，则 $C$ 的两条浙近线的斜率之积为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 $\frac{2 c o s C}{a} = \frac{2}{b} + \frac{s i n C}{b s i n A}$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $b = 8$ ， D为边AC的中点，且 $B D = 2 \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 4$ ，且 $\frac{a_{n}}{S_{n}} = \frac{n + 1}{2 n}$ （ $n \in N^{*}$ ）．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{2^{n}}{(n + 3) a_{n}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{5}{12}$ ．

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面ABC， $P A = 2 \sqrt{2}$ ， $P B = \sqrt{2}$ ， $A B = \sqrt{6}$ ， $A C ⊥ P C$ ， D是棱PC的中点．

(1)、求证： $B C ⊥ A C$ ；

(2)、若 $A C = \sqrt{3}$ ，求直线BC与平面ADB所成角的正弦值．

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20. 如图，为了测量某条河流两岸两座高塔底部A，B之间的距离，观测者在其中一座高塔的顶部D测得另一座高塔底部B和顶部C的视角的正切值为 $\frac{4}{3}$ （即 $t a n ∠ B D C = \frac{4}{3}$ ），已知两座高塔的高AD为30m，BC为60m，塔底A，B在同一水平面上，且 $A D ⊥ A B$ ， $B C ⊥ A B$ ．

(1)、求两座高塔底部A，B之间的距离；

(2)、为庆祝2023年春节的到来，在两座高塔顶部各安装了一个大型彩色灯饰．政府部门为了方便市民观赏这两个彩色灯饰，决定在A，B之间的点P处（点P在线段AB上）搭建一个水上观景台，为了达到最佳的观赏效果，要求 $∠ D P C$ 最大，问：在距离A点多远处搭建，才能达到最佳的观赏效果?

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21. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过 $A (1 ， \frac{\sqrt{6}}{2})$ ， $B (\sqrt{3} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ 两点．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、已知 $Q (4 ， 0)$ ，过 $P (1 ， 0)$ 的直线l与E交于M，N两点，求证： $\frac{| M P |}{| N P |} = \frac{| M Q |}{| N Q |}$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = | x e^{x} - a | - a x (l n x + 1) (a \in R)$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，证明： $f (x) \geq x (e^{x} + 2)$ ；

(2)、若 $f (x) > 0$ 对任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，求a的取值范围.

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