安徽省“江南十校”2023届高三下学期数学3月一模试卷

试卷更新日期：2023-03-31 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 2 x - 3 < 0} ， B = {x ∣ 2^{x - 2} > 1}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x ∣ 1 < x \leq 2}$ B、 ${x ∣ 2 \leq x < 3}$ C、 ${x ∣ - 1 < x \leq 2}$ D、 ${x ∣ 1 < x < 3}$

查看试题解析
2. 已知 $i$ 为虚数单位，则复数 $z = \frac{2 - i}{1 + i}$ 在复平面上对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
3. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{3 π}{4}$ ，且 $| \vec{a} | = \sqrt{2} ， | \vec{b} | = 3$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ （）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{26}$ D、 $5 \sqrt{2}$

查看试题解析
4. 安徽徽州古城与四川阆中古城､山西平遥古城､云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ .已知该正方体中，点 $E ， F$ 分别是棱 $A A_{1} ， C C_{1}$ 的中点，过 $D_{1} ， E ， F$ 三点的平面与平面 $A B C D$ 的交线为 $l$ ，则直线 $l$ 与直线 $A D_{1}$ 所成角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{2}$

查看试题解析
5. 为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（）种．

A、40 B、24 C、20 D、12

查看试题解析
6. 已知函数 $f (x) = c o s (x + \frac{π}{2}) c o s (x + \frac{π}{4})$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $(- \frac{π}{8} ， 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 B、点 $(\frac{π}{8} ， \frac{\sqrt{2}}{4})$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 C、直线 $x = \frac{5 π}{8}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称轴 D、直线 $x = \frac{3 π}{8}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称轴

查看试题解析
7. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C ， C A = C B = P A = 2 ， ∠ A C B = \frac{2 π}{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为（）

A、 $25 π$ B、 $20 π$ C、 $16 π$ D、 $12 π$

查看试题解析
8. 已知 $a = e^{0.9} + 1 ， b = \frac{29}{10} ， c = l n (0.9 e^{3})$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a > c > b$ B、 $c > b > a$ C、 $b > a > c$ D、 $a > b > c$

查看试题解析

二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x (x \in R)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 和 $(\frac{\sqrt{3}}{3} ， + \infty)$ C、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$ D、 $f (x)$ 的极值点为 $(- \frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{2 \sqrt{3}}{9}) ， (\frac{\sqrt{3}}{3} ， - \frac{2 \sqrt{3}}{9})$

查看试题解析
10. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = A D = A A_{1} = 1$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = 60 °$ ，则（）

A、直线 $A_{1} C$ 与 $B D$ 所成的角为 $90 °$ B、线段 $A_{1} C$ 的长度为 $\sqrt{3}$ C、直线 $A_{1} C$ 与 $B B_{1}$ 所成的角为 $90 °$ D、直线 $A_{1} C$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

查看试题解析
11. 已知 $O$ 为坐标原点，点 $A (2 a ， 0) ， B (2 a ， 2 a^{2}) (a \neq 0)$ ，线段 $A B$ 的中点 $M$ 在抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上，连接 $O B$ 并延长，与 $C$ 交于点 $N$ ，则（）

A、 $C$ 的准线方程为 $y = - \frac{1}{2}$ B、点 $B$ 为线段 $O N$ 的中点 C、直线 $A N$ 与 $C$ 相切 D、 $C$ 在点 $M$ 处的切线与直线 $O N$ 平行

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 和 $g^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，若 $f (x + 3) = g (- x) + 4$ ， $f^{'} (x) + g^{'} (1 + x) = 0$ ，且 $g (2 x + 1)$ 为偶函数，则（）

A、 $g^{'} (1) = 0$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 C、函数 $f^{'} (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 D、 $\sum_{k = 1}^{2023} f^{'} (k) g^{'} (k) = 1$

查看试题解析

三、填空题

13. $(3 + x) {(x + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中，常数项为（用数字作答）.

查看试题解析
14. 已知圆 $C ： (x - 3)^{2} + y^{2} = 25$ ，直线 $l ： (m + 1) x + (m - 1) y - 2 = 0$ （ $m$ 是参数），则直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长的最小值为.

查看试题解析
15. 已知直线 $l$ 与椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 交于 $M ， N$ 两点，线段 $M N$ 中点 $P$ 在直线 $x = - 1$ 上，且线段 $M N$ 的垂直平分线交 $x$ 轴于点 $Q (- \frac{3}{4} ， 0)$ ，则椭圆 $E$ 的离心率是.

查看试题解析
16. 若过点 $P (1 ， m) (m \in R)$ 有3条直线与函数 $f (x) = x e^{x}$ 的图象相切，则 $m$ 的取值范围是.

查看试题解析

四、解答题

17. 在平面直角坐标系 $O x y$ 中，锐角 $α ， β$ 的顶点与坐标原点 $O$ 重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边与单位圆 $O$ 的交点分别为 $P ， Q$ .已知点 $P$ 的纵坐标为 $\frac{4 \sqrt{3}}{7}$ ，点 $Q$ 的横坐标为 $\frac{13}{14}$ .

(1)、求 $c o s (α - β)$ 的值；

(2)、记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ .
请从下面两个问题中任选一个作答，如果多选，则按第一个解答计分.
①若 $C = α - β$ ，且 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值.
②若 $A = α ， B = β$ ，且 $c = 11$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

查看试题解析
18. 已知在递增数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} ， a_{2}$ 为函数 $f (x) = x^{2} - 11 x + 24$ 的两个零点，数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 是公差为2的等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < \frac{3}{4}$ .

查看试题解析
19. 渔船海上外出作业受天气限制，尤其浪高对渔船安全影响最大，二月份是某海域风浪最平静的月份，浪高一般不超过3 $m$ .某研究小组从前些年二月份各天的浪高数据中，随机抽取50天数据作为样本，制成频率分布直方图：（如图）
根据海浪高度将海浪划分为如下等级：
浪高 $(c m)$
$(0 ， 50)$
$[50 ， 100)$
$[100 ， 200)$
$[200 ， 300]$
海浪等级
微浪
小浪
中浪
大浪
海事管理部门规定：海浪等级在“大浪”及以上禁止渔船出海作业.

(1)、某渔船出海作业除受浪高限制外，还受其他因素影响，根据以往经验可知：“微浪”情况下出海作业的概率为0.9，“小浪”情况下出海作业的概率为0.8，“中浪”情况下出海作业的概率为0.6，请根据上面频率分布直方图，估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率，并求该渔船在这天出海作业的概率；

(2)、气象预报预计未来三天内会持续“中浪”或“大浪”，根据以往经验可知：若某天是“大浪”，则第二天是“大浪”的概率为 $\frac{1}{2}$ ， “中浪”的概率为 $\frac{1}{2}$ ；若某天是“中浪”，则第二天是“大浪”的概率为 $\frac{1}{3}$ ， “中浪”的概率为 $\frac{2}{3}$ .现已知某天为“中浪”，记该天的后三天出现“大浪”的天数为X，求X的分布列和数学期望.

查看试题解析
20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A D$ 为等腰三角形， $P D = P A = 5 ， A D / / B C$ ， $∠ B A D = 9 0^{∘} ， A B = A D = 2 B C = 8$ .

(1)、证明： $B C ⊥ P C$ ；

(2)、若 $A B ⊥ A P$ ，点 $M$ 在线段 $P B$ 上， $P M = \frac{1}{3} P B$ ，求平面 $D M C$ 与平面 $P A D$ 夹角的余弦值.

查看试题解析
21. 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ ，双曲线 $C_{2}$ 是椭圆 $C_{1}$ 的“姊妺”圆锥曲线， $e_{1} ， e_{2}$ 分别为 $C_{1} ， C_{2}$ 的离心率，且 $e_{1} e_{2} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ ，点 $M ， N$ 分别为椭圆 $C_{1}$ 的左､右顶点.

(1)、求双曲线 $C_{2}$ 的方程；

(2)、设过点 $G (4 ， 0)$ 的动直线 $l$ 交双曲线 $C_{2}$ 右支于 $A ， B$ 两点，若直线 $A M ， B N$ 的斜率分别为 $k_{A M} ， k_{B N}$ .
（i）试探究 $k_{A M}$ 与 $k_{B N}$ 的比值 $\frac{k_{A M}}{k_{B N}}$ 是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
（ii）求 $w = k_{A M}^{2} + \frac{2}{3} k_{B N}$ 的取值范围.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{k}{x + 1} (k \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 在定义域上具有唯一单调性，求 $k$ 的取值范围；

(2)、当 $x \in (1 ， 2)$ 时，证明： $(2 - x) e^{2 (x - \frac{1}{x})} - 2 x^{2} + x < 0$ .

查看试题解析

浪高 $(c m)$	$(0 ， 50)$	$[50 ， 100)$	$[100 ， 200)$	$[200 ， 300]$
海浪等级	微浪	小浪	中浪	大浪