山东省潍坊市诸城市2022年中考三模数学试题

试卷更新日期：2023-03-31 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 如图，数轴上有A，B，C，D四点，以下线段中，长度最接近 $\sqrt{8}$ 的是（）

A、线段AB B、线段AC C、线段CD D、线段BC

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{(- 2)^{2}} = - 2$ B、 ${(- 2 a b^{3})}^{2} = 4 a^{2} b^{6}$ C、 $x^{2} + 3 x^{2} = 4 x^{4}$ D、 $6 a^{6} \div 2 a^{2} = 3 a^{3}$

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3. 下列因式分解正确的是（）

A、 $a^{3} - a = a^{2} (a - 1)$ B、 $a b^{2} - c^{2} = (a b + c) (a b - c)$ C、 $a^{3} b - a b^{3} = a b (a^{2} - b^{2})$ D、 $a^{3} + 6 a^{2} b + 9 a b^{2} = a (a + 3 b)^{2}$

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4. 不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{1}{2} x - 2 \geq - 3 \\ 2 (4 - x) > 4 \end{array}$ 的解集在数轴上表示为（　　）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，点A到点C的距离为100米，要测量河对岸B点到河岸AD的距离.小明在A点测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则B点到河岸AD的距离为（）

A、100米 B、50米 C、 $\frac{200 \sqrt{3}}{3}$ 米 D、50 $\sqrt{3}$ 米

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6. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $A C = 8$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点，连接 $A D$ ，以点 $D$ 为圆心， $D A$ 长为半径作弧 $M N$ ，若 $D M ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $D N ⊥ A C$ 于点 $F$ ．则图中阴影部分的周长为（）

A、 $\frac{5 π}{2}$ B、 $\frac{5 π}{2} + 7$ C、 $\frac{5 π}{2} + 10$ D、 $\frac{5 π}{2} + 14$

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7. 如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△ $B D C'$ ， DC与AB交于点E，连结 $A C'$ ，若AD=AC′=2，BD=3则点D到BC的距离为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{21}}{7}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{13}$

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8. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”．如 $8 = 3^{2} - 1^{2}$ ， $16 = 5^{2} - 3^{2}$ ，即8，16均为“和谐数”．在不超过2022的正整数中，所有“和谐数”之和等于（）

A、255054 B、255064 C、250554 D、255024

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9. 为了迎接中国共产党第二十次全国代表大会的召开，某班40名学生参加了“党在我心中”知识竞赛，测试成绩如表所示，其中有两个数据被遮盖．
成绩/分
86
88
90
92
94
95
96
98
100
人数
■
1
■
1
4
5
6
5
15
下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据有关的是（）

A、平均数 B、中位数 C、众数 D、方差

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10. 如图，AB是圆O的直径，点G是圆上任意一点，点C是 $\overset{⌢}{B G}$ 的中点， $C D ⊥ A B$ ，垂足为点E，连接GA，GB，GC，GD，BC，GB与CD交于点F，则下列表述正确的是（）

A、 $∠ A B C = ∠ A G D$ B、 $△ B C E ∽ △ A B G$ C、 $G F = D F$ D、 $B C ∥ G D$

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11. 下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
$x$
…
-2
0
1
3
…
$y$
…
6
-4
-6
-4
…
下列各选项中，正确的是A．这个函数的图象开口向下

A、这个函数的图象与x轴无交点 B、这个函数的最小值小于-6 C、当 $x > 1$ 时，y的值随x值的增大而增大

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12. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为8，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $A D$ ， $B C$ 上，将正方形沿 $E F$ 折叠，使点 $A$ 落在边 $C D$ 上的 $A^{'}$ 处，点 $B$ 落在 $B^{'}$ 处， $A^{'} B^{'}$ 交 $B C$ 于 $G$ ．下列结论正确的是（）

A、当 $A^{'}$ 为 $C D$ 中点时， $t a n ∠ D A^{'} E = \frac{3}{4}$ B、当 $A^{'} D ： D E ： A^{'} E = 3 ： 4 ： 5$ 时， $A^{'} C = \frac{16}{3}$ C、当 $A^{'}$ （点 $A^{'}$ 不与 $C$ 、 $D$ 重合）在 $C D$ 上移动时， $△ A^{'} C G$ 周长随着 $A^{'}$ 位置变化而变化 D、连接 $A A^{'}$ ，则 $A A^{'} = E F$

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二、填空题

13. 若一次函数 $y = a x + b$ 的图象经过第一、二、四象限，则化简 $\sqrt{a^{2}} - \sqrt{(b - a)^{2}} =$ ．

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14. 若m，n是一元二次方程 $x^{2} - 5 x - 2 = 0$ 的两个实数根，则 $m^{2} + n^{2} - m n$ 的值是．

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15. 如图，函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 和 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图像分别是l₁和l₂ ，设点P在l₂上，PA∥y轴交l₁于点A，PB∥x轴交l₁于点B，△PAB的面积为．

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16. 如图，已知 $△ A B C$ 的内角 $∠ A = α$ ，分别作内角 $∠ A B C$ 与外角 $∠ A C D$ 的平分线，两条平分线交于 $A_{1}$ ，得 $∠ A_{1}$ ； $∠ A_{1} B C$ 和 $∠ A_{1} C D$ 的平分线交于 $A_{2}$ ，得 $∠ A_{2}$ ；…，以此类推得到 $∠ A_{2022}$ ，则 $∠ A_{2022} =$ ．（用 $α$ 表示）

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三、解答题

17. 某校为了“中考体测”的顺利进行，引导同学们积极参加体育锻炼，学校购买了一批跳绳供学生借用，现从九年级随机抽取了部分学生对新跳绳进行测试，绘制了如下的两幅不完整的统计表和统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
一分钟跳绳成绩的分组统计表
组别
跳绳次数分段
频数
A
$40 \leq x < 80$
10
B
$80 \leq x < 120$
$m$
C
$120 \leq x < 160$
42
D
$160 \leq x < 200$
13
一分钟跳绳成绩的扇形统计图

(1)、本次接受随机抽样调查的学生人数为人，统计表中的 $m$ 的值为；

(2)、抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别是；

(3)、现在指定两名男生和两名女生负责跳绳发放和整理工作，若两人一组，随机组合，则恰好分组都是一男一女的概率是多少？

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18. 自“新冠”病毒出现后，瓶装酒精成了人们家中常备之物．一种酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到 $B D^{'}$ ，此时 $B D^{'}$ ∥EF（如图3）

(1)、求BD转动到 $B D^{'}$ 扫过的面积（结果保留π）；

(2)、求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

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19. 数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程，古希腊数学家帕普斯（Pappus，约300﹣350）把 $∠ A O B$ 三等分的操作如下：
①以点 $O$ 为坐标原点， $O B$ 所在的直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系；
②在平面直角坐标系中，绘制反比例函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象，图象与 $∠ A O B$ 的边 $O A$ 交于点 $C$ ；
③以点 $C$ 为圆心， $2 O C$ 为半径作弧，交函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象于点 $D$ ；
④分别过点 $C$ 和 $D$ 作 $x$ 轴和 $y$ 轴的平行线，两线交于点 $E$ ， $M$ ；
⑤作射线 $O E$ ，交 $C D$ 于点 $N$ ，得到 $∠ E O B$ ．

(1)、任务一：判断四边形 $C E D M$ 的形状，并证明；

(2)、任务二：请证明 $∠ E O B = \frac{1}{3} ∠ A O B$ ．

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20. 点M，N为正方形ABCD平面内两点，BM⊥BN.

(1)、如图1，点M为边CD上一点，D，A，N三点共线.求证：BM＝BN.

(2)、如图2，点M为正方形ABCD外一点，CM⊥MN，M，A，N三点共线.BM＝BN是否仍然成立，请说明理由.

(3)、在（2）的条件下，若CM＝1，BN＝4 $\sqrt{2}$ ，求正方形的边长.

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21. 如图，是某同学正在设计的一动画示意图， $x$ 轴上依次有 $A$ ， $O$ ， $N$ 三个点，且 $A O = 2$ ，在 $O N$ 上方有五个台阶 $T_{1} ~ T_{5}$ （各拐角均为 $90 °$ ），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶 $T_{1}$ 到 $x$ 轴距离 $O K = 10$ ．从点 $A$ 处向右上方沿抛物线 $L ： y = - x^{2} + 4 x + 12$ 发出一个带光的点 $P$ ．

(1)、求点 $A$ 的横坐标，且在图中补画出 $y$ 轴，并直接指出点 $P$ 会落在哪个台阶上；

(2)、当点 $P$ 落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与 $L$ 形状相同的抛物线 $C$ ，且最大高度为11，求抛物线 $C$ 的表达式．

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22. 如图， $⊙ O$ 上有 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点， $A C$ 是直径，点 $D$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，连接 $C D$ 交 $A B$ 于 $E$ ， $F$ 在 $A B$ 延长线上，且 $F C = F E$ ．

(1)、求证： $C F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $c o s F = \frac{3}{5}$ ， $B E = 2$ ，求 $⊙ O$ 的半径和 $D E \cdot E C$ 的值．

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23. 综合与探究
如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $B$ ， $C$ 的坐标分别为(2，0)，(0，3)，点 $D$ 与点 $C$ 关于 $x$ 轴对称， $P$ 是直线 $A C$ 上方抛物线上一动点，连接 $P D$ 、交 $A C$ 于点 $Q$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式及点 $A$ 的坐标；

(2)、在点 $P$ 运动的过程中，求 $P Q$ ： $D Q$ 的最大值；

(3)、在 $y$ 轴上是不存在点 $M$ ，使 $∠ A M B = 45 °$ ？若存在，请直接写出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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组别	跳绳次数分段	频数
A	$40 \leq x < 80$	10
B	$80 \leq x < 120$	$m$
C	$120 \leq x < 160$	42
D	$160 \leq x < 200$	13

成绩/分	86	88	90	92	94	95	96	98	100
人数	■	1	■	1	4	5	6	5	15

$x$	…	-2	0	1	3	…
$y$	…	6	-4	-6	-4	…