2023学年沪科版数学七年级下册期中考试质量检测卷（一）

试卷更新日期：2023-03-30 类型：期中考试

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一、单选题（每题4分，共40分）

1. 下列各数中，是无理数的为（）

A、 $π + 1$ B、 $\frac{22}{7}$ C、 $0.323$ D、 $\sqrt{4}$

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2. 原子是化学变化中的最小微粒，按照国际单位制的规定，质量单位是“kg”．例如：1个氧原子的质量是 $2.657 \times 1 0^{- 26} k g$ ．如果小数0.000…02657用科学记数法表示为 $2.657 \times 1 0^{- 26}$ ，那么这个小数中的“0”有（）

A、25个 B、26个 C、27个 D、28个

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3. 下列运算结果正确的是（）

A、 $4 a - 3 a = 1$ B、 $(a^{2})^{3} = a^{3}$ C、 $a^{2} a^{3} = a^{6}$ D、 $(- 2 a)^{3} = - 8 a^{3}$

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4. 已知 $a = \sqrt{26} - 1$ ， a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（）

A、 $4 < a < 5$ B、 $3 < a < 4$ C、 $2 < a < 3$ D、 $5 < a < 6$

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5. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（　　）

A、 $x^{3} - x = x (x^{2} - 1)$ B、 $x^{2} - 2 x - 3 = x (x - 2) - 3$ C、 $x^{2} - 4 x + 4 = {(x - 2)}^{2}$ D、 $(x + 2) (x - 2) = x^{2} - 4$

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6. 某商畈去菜摊买黄瓜，他上午买了30千克，价格为每千克x元，下午，他又买了20千克，价格为每千克y元﹒后来他以每千克 $\frac{x + y}{2}$ 元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（）

A、 $x < y$ ＜y B、 $x > y$ C、 $x \leq y$ D、 $x \geq y$

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7. 某种商品每件的进价为120元，商场按进价提高 $50 %$ 标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于 $5 %$ ，则至多可以打（）折

A、7 B、7.5 C、8 D、8.5

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8. 关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} - \frac{1}{3} x > \frac{2}{3} - x \\ \frac{1}{2} x - 1 < \frac{1}{2} (a - 2) \end{array}$ 有且只有三个整数解，则 $a$ 的最大值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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9. 如图，两个正方形边长分别为a，b，已知 $a + b = 7$ ， $a b = 9$ ，则阴影部分的面积为（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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10. 根据等式： $(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ ， $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1 ，$ $(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$ ， $(x - 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{5} - 1 ，$ ……的规律，则可以推算得出 $2^{2021} + 2^{2020} + 2^{2019} + . . . + 2^{2} + 2 + 1$ 的末位数字是（）

A、 $1$ B、 $3$ C、 $5$ D、 $7$

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二、填空题（每空4分，共20分）

11. 比较大小： $\sqrt{3} + 1$ $\frac{5}{2}$ .（填“>”，“<”，或“＝”）

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12. 已知 $\sqrt{2.1}$ ＝1.449， $\sqrt{21}$ ＝4.573，则 $\sqrt{21000}$ 是．

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13. 若 $x^{2} + 2 (m + 3) x + 9$ 是关于 $x$ 的完全平方式，则 $m =$ ．

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14. 两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为 $S_{1}$ ；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为 $S_{2}$ .若 $a + b = 8 ， a b = 10$ ，则 $S_{1}$ ＋ $S_{2}$ ＝；当 $S_{1}$ ＋ $S_{2}$ ＝40时，则图3中阴影部分的面积 $S_{3} =$ .

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三、解答题（共9题，共90分）

15. 计算： $| - 2 | + {(π - 3.14)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} + \sqrt[3]{- 8}$ .

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16. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x > 3 x - 2 \\ \frac{2 x - 1}{3} \geq \frac{1}{2} x - \frac{2}{3} \end{array}$

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17. 已知： $3 a + 1$ 的立方根是 $- 2 ， 3 \cdot 3^{b} \cdot 3^{2 b} = 81$ ， c是 $\sqrt{23}$ 的整数部分.

(1)、求a，b，c的值；

(2)、求 $2 a - b + 2 c$ 的平方根.

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18. 一艘轮船从某江上游的 $A$ 地匀速驶到下游的 $B$ 地用了 $10 h$ ，从 $B$ 地匀速返回 $A$ 地用了不到12h，这段江水的流速为 $3 km/h$ ，轮船在静水中的往返速度不变，且为正整数．试求轮船在静水中速度的最小值是多少？

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19. 小明和小红在计算 ${(- \frac{1}{3})}^{100} \times 3^{101}$ 时，分别采用了不同的解法.
小明的解法： ${(- \frac{1}{3})}^{100} \times 3^{101} = {(- \frac{1}{3})}^{100} \times 3^{100} \times 3 = {[(- \frac{1}{3}) \times 3]}^{100} \times 3 = (- 1)^{100} \times 3 = 3$ ，
小红的解法： ${(- \frac{1}{3})}^{100} \times 3^{101} = {(\frac{1}{3})}^{100} \times 3^{101} = {(3^{- 1})}^{100} \times 3^{101} = 3^{- 100} \times 3^{101} = 3$ .
请你借鉴小明和小红的解题思路，解决下列问题：

(1)、若 $4 a - 3 b + 1 = 0$ ，求 $3^{2} \times 9^{2 a + 1} \div 2 7^{b}$ 的值；

(2)、已知 $x$ 满足 $2^{2 x + 4} - 2^{2 x + 2} = 96$ ，求 $x$ 的值.

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20. [学习材料]——拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法．如：

例1：分解因式：x²+2x-3．

解：原式=x²+2x+1-1-3=（x+1）²-4=（x+1-2）（x+1+2）=（x-1）（x+3）．

例2：分解因式：x³+5x-6．

解：原式=x³-x+6x-6=x（x²-1）+6（x-1）=（x-1）（x²+x+6）．

[知识应用]请根据以上材料中的方法，解决下列问题：

(1)、分解因式：x²+14x-51= ．

(2)、化简： $\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4}{x + 2}$

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21. 若 $x$ 满足 $(7 - x) (x - 3) = 3$ ，求 ${(7 - x)}^{2} + {(x - 3)}^{2}$ 的值.
解：设 $7 - x = a$ ， $x - 3 = b$ ，则 $(7 - x) (x - 3) = a b = 3$ ， $a + b = (7 - x) + (x - 3) = 4$ ， ${(7 - x)}^{2} + {(x - 3)}^{2} = a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b = 4^{2} - 2 \times 3 = 10$ .

(1)、若 $x$ 满足 $(2 x + 5) (2 x - 1) = 2$ ，求 ${(2 x + 5)}^{2} + {(2 x - 1)}^{2}$ 的值；

(2)、
【拓展应用】
如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $x ， E ， F$ 分别是 $A D 、 D C$ 上的点，且 $A E = 1 ， C F = 3$ ，长方形 $E M F D$ 的面积是 $8$ ，分别以 $M F 、 D F$ 为边作正方形 $M F R N 、 D F G H$ .
① $M F =$ ▲ ， $D F =$ ▲ ；(用含 $x$ 的式子表示)

②求阴影部分的面积.

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22. 随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源汽车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车，计划购买A型和B型新能源公交车共10辆.若购买A型公交车1辆和B型公交车2辆共需300万元；且购买一辆A型公交车的费用比购买一辆B型公交车的费用少30万元.

(1)、求A型和B型公交车的单价分别为多少万元？

(2)、预计在该条线路上A型和B型公交车每辆日均载客量为160人次和200人次，若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1000万元，且确保这10辆公交车在该线路的日均载客量总和不少于1800人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案的总费用最少？最少总费用是多少？

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23. 若不等式 $($ 组 $)$ 只有 $n$ 个正整数解 $(n$ 为自然数 $)$ ，则称这个不等式 $($ 组 $)$ 为 $n$ 阶不等式 $($ 组 $)$ ．
我们规定：当 $n = 0$ 时，这个不等式 $($ 组 $)$ 为 $0$ 阶不等式 $($ 组 $)$ ．

例如：不等式 $x + 1 < 6$ 只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式．

不等式组 ${\begin{array}{l} x + 1 > 2 \\ 2 x - 3 < 7 \end{array}$ 只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组．

请根据定义完成下列问题：

(1)、 $x < \frac{1}{2}$ 是阶不等式； ${\begin{array}{l} x > 1 \\ x - 3 < 0 \end{array}$ 是阶不等式组；

(2)、若关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 4 a < 0 \\ 2 + 3 x \geq \frac{x + 9}{2} \end{array}$ 是4阶不等式组，求 $a$ 的取值范围；

(3)、关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} x \geq p \\ x < m \end{array}$ 的正整数解有 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $\dots$ 其中 $a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4} < \dots$
如果 ${\begin{array}{l} x \geq p \\ x < m \end{array}$ 是 $(m - 3)$ 阶不等式组，且关于 $x$ 的方程 $2 x - m = 0$ 的解是 ${\begin{array}{l} x \geq p \\ x < m \end{array}$ 的正整数解 $a_{3}$ ，请求出 $m$ 的值以及 $p$ 的取值范围．

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