浙大附中玉泉校区、丁兰校区2021-2022学年高一下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-03-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {1 ， 2 ， 3 ， 5}$ ， $N = {2 ， 3 ， 4}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${1 ， 5}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${2 ， 3}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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2. 设 $a = 2^{0.7} ， b = l o g_{6} 4 ， c = 4^{0.3}$ ，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $b > a > c$

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3. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (m ， - 6)$ ，且 $c o s α = - \frac{4}{5}$ ，则 $m =$ （）

A、8 B、-8 C、4 D、-4

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4. 函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2^{x} + 2^{- x}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，等腰梯形ABCD中， $A B = B C = C D = 3 A D$ ，点E为线段CD中点，点F为线段BC的中点，则 $\vec{F E} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ D、 $- \frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$

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6. 声强级Li（单位：dB）为声强I（单位： $ω / m^{2}$ ）之间的关系是： $L i = 10 l g \frac{I}{I_{0}}$ ，其中 $I_{0}$ 指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为 $1 ω / m^{2}$ ，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[70，80]（单位：dB），下列选项中错误的是（）

A、闻阈的声强级为0dB B、此歌唱家唱歌时的声强范围 $[1 0^{- 5} ， 1 0^{- 4}]$ （单位： $ω / m^{2}$ ） C、如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍 D、声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍

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7. 已知 $α$ ， $β$ 为锐角，且 $4 s i n^{2} α + 2 s i n^{2} β = 1$ ， $2 s i n 2 α - s i n 2 β = 0$ ，则 $c o s (2 α + 2 β) =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{\sqrt{15}}{4}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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8. 在 $△ A B C$ 中，已知角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，若 $9 b^{2} + 6 b c \cos A = 11 c^{2}$ ，则角B的最大值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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二、多选题

9. 下列各式中值为1的是（）

A、 $\frac{t a n 12 ° + t a n 33 °}{1 - t a n 12 ° t a n 33 °}$ B、 $s i n \frac{π}{12} c o s \frac{π}{12}$ C、 $s i n 72 ° c o s 18 ° + c o s 72 ° s i n 18 °$ D、 $\sqrt{2} (c o s^{2} \frac{π}{8} - s i n^{2} \frac{π}{8})$

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10. 先将函数 $f (x) = s i n x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，再将横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到函数 $g (x)$ 的图象，则关于函数 $g (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上单调递增 B、图象关于直线 $x = \frac{5 π}{6}$ 对称 C、在 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ 上单调递减 D、周期为 $π$ ，图象关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 对称

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11. 正六角星是我们生活中比较常见的图形，如图二所示的正六角星的中心为O，A，B，C是该正六角星的顶点，则（）

A、向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 夹角的余弦值是 $- \frac{1}{2}$ B、若 $\vec{O C} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ ，则 $x + y = 3$ C、若 $| \vec{O A} | = 2$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O C} = - 6$ D、若 $| \vec{O A} | = 2$ ，非零向量 $\vec{a} = x \vec{O A} + y \vec{O B} (x ， y \in R)$ ，则 $| \frac{\vec{a}}{x} |$ 的最小值为 $\sqrt{3}$

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12. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | 2^{x} - 1 | ， x \leq 2 \\ - x + 5 ， x > 2 \end{array}$ ，集合 $M = {x | f^{2} (x) + 2 f (x) + k = 0 ， k \in R}$ ，则下列命题正确的是（）

A、当 $k = 0$ 时， $M = {0 ， 5 ， 7}$ B、当 $k > 1$ 时 $M = \emptyset$ C、若 $M = {a ， b ， c}$ ，则k的取值范围为 $(- 15 ， - 3)$ D、若 $M = {a ， b ， c ， d}$ （其中 $a < b < c < d$ ），则 $2^{a} + 2^{b} + c + d = 14$

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三、填空题

13. 计算： $\frac{c o s (\frac{π}{2} - α)}{s i n (π - α)} =$ ．

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14. 已知向量 $\vec{A B} = (1 ， 2)$ ， $\vec{B C} = (m ， 7)$ ， $\vec{C D} = (3 ， - 1)$ ，若A，B，D三点共线，则 $m =$ ．

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15. 已知△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若 $A B = 3$ ， $A C = 1$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，则 $A D =$ ．

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16. 在 $△ A O B$ 中，已知 $| \vec{O B} | = \sqrt{2} ， | \vec{A B} | = 1 ， ∠ A O B = 45 °$ ，若 $\vec{O P} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B}$ ，且 $λ + 2 μ = 2$ ，则 $\vec{O A}$ 在 $\vec{O P}$ 上的投影的取值范围是．

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四、解答题

17. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足 $a + b = 11$ ，请从条件①、条件②中选择一个作为已知，完成下列问题：
条件①： $c = 7$ ， $c o s A = - \frac{1}{7}$ ；条件②： $c o s A = \frac{1}{8}$ ， $c o s B = \frac{9}{16}$
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分

(1)、求a的值；

(2)、求 $s i n C$ 和△ABC的面积．

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18. 设函数 $f (x) = c o s (2 x + \frac{π}{3}) + 2 s i n^{2} x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最大值及取得最大值时x的集合；

(2)、若 $α \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ，且 $f (α) = \frac{2}{5}$ ，求 $s i n 2 α$ .

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19. 某创新科技公司为了响应市政府的号召，决定研发并生产某种新型的工业机器人，经过市场调查，生产机器人需投入年固定成本为100万元，每生产x个，需另投入流动成本为 $C (x)$ 万元．在年产量不足80个时， $C (x) = \frac{1}{30} x^{2} + 2 x$ （万元）；在年产量不小于80个时， $C (x) = \frac{103}{17} x + \frac{425}{x} - 135$ （万元），每个工业机器人售价为6万元，通过市场分析，生产的机器人当年可以全部售完．

(1)、写出年利润 $L (x)$ （万元）关于年产量x（个）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入－固定成本－流动成本）

(2)、年产量为多少个时，工业机器人生产中所获利润最大？最大利润是多少？

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20. 如图，扇形 $O A B$ 所在圆的半径为2，它所对的圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ， $C$ 为弧 $A B$ 的中点，动点 $P$ ， $Q$ 分别在线段 $O A$ ， $O B$ 上运动，且总有 $O P = B Q$ ，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ .

(1)、若 $\vec{O P} = \frac{2}{3} \vec{O A}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{C P}$ ， $\vec{C Q}$ ；

(2)、求 $\vec{C P} \cdot \vec{C Q}$ 的取值范围.

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21. 设函数 $h (x) = x^{2}$ ， $g (x) = a x - b (a ， b \in R)$ ，令函数 $f (x) = h (x) - g (x)$ ．

(1)、若函数 $y = f (x)$ 为偶函数，求实数a的值；

(2)、若 $a = 2$ ，求函数 $y = | f (x) |$ 在区间 $[0 ， 3]$ 上的最大值；

(3)、试判断：是否存在实数a，b，使得当 $x \in [0 ， b]$ 时， $2 \leq f (x) \leq 6$ 恒成立，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．

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