云南省临沧市云县2021-2022学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-03-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 命题：“ $\forall x > 0$ ， $2 l n x + 2^{x} > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x > 0$ ， $2 l n x + 2^{x} < 0$ B、 $\forall x > 0$ ， $2 l n x + 2^{x} \leq 0$ C、 $\exists x > 0$ ， $2 l n x + 2^{x} \leq 0$ D、 $\exists x > 0$ ， $2 l n x + 2^{x} < 0$

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2. 下列几何体中是棱锥的有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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3. 已知复数 $z = \frac{\sqrt{3} + i}{1 - i}$ (i是虚数单位)，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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4. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $A = 4 5^{∘}$ ， $B = 3 0^{∘}$ ， $a = 3 \sqrt{2}$ ，则 $b =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、3

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5. 已知 $(x - 2 y) + (4 x - y + 1) i = {(1 + i)}^{2} (x \in R ， y \in R)$ ，则 $z = y - x i$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第四象限 B、第三象限 C、第二象限 D、第一象限

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6. 已知正方体的棱长为 $\sqrt{3}$ ，则该正方体外接球的体积为（）

A、9π B、 $\frac{27}{4} π$ C、 $\frac{9 π}{2}$ D、 $\frac{27}{8} π$

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7. 某圆锥的侧面展开图扇形的弧长为 $8 π$ ，扇形的半径为5，则圆锥的体积为（）

A、 $25 π$ B、75 C、 $5 \sqrt{5} π$ D、 $16 π$

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8. “ $△ A B C$ 为钝角三角形”是“ $s i n^{2} C > s i n^{2} A + s i n^{2} B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、该图象对应的函数解析式为 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6})$ B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称 C、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{5 π}{12} ， 0)$ 对称 D、函数 $y = f (x)$ 在区间 $[- \frac{2 π}{3} ， - \frac{π}{6}]$ 上单调递减

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10. 函数 $f (x) = x + 1 - l o g_{\frac{1}{2}} x$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{4})$ B、 $(\frac{1}{4} ， \frac{1}{3})$ C、 $(\frac{1}{3} ， \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2} ， 1)$

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11. 已知四边形 $A B C D$ 的对角线交于点O，E为 $A O$ 的中点，若 $\vec{A E} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、1

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12. 2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为3，则图③中 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 的值为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、6 D、 $6 \sqrt{2}$

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二、填空题

13. 底面直径和母线长都是 $2 c m$ 的圆柱的表面积为 $c m^{2}$ .

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14. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，且 $| \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | =$ ．

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15. 已知 $α$ ， $β$ 均为锐角，且 $s i n α = \frac{3}{5}$ ， $t a n (α - β) = - \frac{1}{3}$ ，则cos $β$ ＝．

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16. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 6 0^{∘}$ ， ∠A的角平分线与BC边相交于D． $A D = \frac{6 \sqrt{3}}{5}$ ， $B C = \sqrt{7}$ ，则AB边的长度为．

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三、解答题

17. 已知复数 $z$ 满足 $z + \bar{z} = 2$ ， $z^{2} = - 2 i$ ．

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、求复数 $z^{4}$ 的实部和虚部．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{e^{x} + 1} (x \in R)$ ．

(1)、记 $g (x) = f (x) - b$ ，已知函数 $g (x)$ 为奇函数，求实数b的值；

(2)、求证：函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的减函数．

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19. 已知 $\vec{a} = (- 1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 4)$ ， $\vec{m} = \vec{a} - k \vec{b}$ ， $\vec{n} = (k - 1) \vec{a} - 2 \vec{b}$ ．当k为何值时：

(1)、 $\vec{m} / / \vec{n}$

(2)、 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$

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20. 如图，在平面四边形ABCD中， $∠ A B C = ∠ A C D = \frac{π}{3}$ ， $A B = 6$ ．

(1)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ ，求AC；

(2)、在（1）的条件下，若 $A D = \sqrt{26}$ ，求 $c o s 2 D$ ．

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21. 如图所示，正方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 是一个水平放置的平面图形OABC的直观图，其中 $O^{'} A^{'} = 2$ ．

（注：图形OABC与正方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 的各点分别一对应，如OB对应直观图中的 $O^{'} B^{'}$ ）

(1)、求原图形的面积；

(2)、将原图形以OA所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积．

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22. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a c o s C + \sqrt{3} a s i n C = b + c$ ．

(1)、求A的大小；

(2)、若 $a + 1 = c$ ， b＞2，当 $△ A B C$ 的周长最小时，求b的值．

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