天津市南开区2021-2022学年高一下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-03-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数 $(3 - 4 i) z = - 3 + i$ ，则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知点 $A (1 ， 3)$ ， $B (4 ， - 1)$ ，则与 $\vec{A B}$ 同方向的单位向量为（）

A、 $(\frac{3}{5} ， - \frac{4}{5})$ B、 $(3 ， - 4)$ C、 $(- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ D、 $(- 3 ， 4)$

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3. 已知平面向量 $\vec{p} = (- 4 ， 6) ， \vec{q} = (m ， - 3) ， \vec{p} / / \vec{q}$ ，则 $m =$ （）

A、-2 B、2 C、 $- \frac{9}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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4. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $△ A B C$ 的面积为4，a＝2，B＝30°，则c＝（）

A、8 B、4 C、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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5. 下列说法中，正确的是（）．

A、三点确定一个平面 B、过一条直线的平面有无数多个 C、两条直线确定一个平面 D、三条两两相交的直线确定三个平面

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6. 某校高一､高二､高三的学生人数分别为800，750，650，为了解学生的视力情况，现用分层随机抽样的方法从中抽取部分学生进行调查，若样本中高二学生的人数为30，则这次调查的样本容量为（）

A、88 B、90 C、92 D、94

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7. 甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为（）

A、0.36 B、0.352 C、0.288 D、0.648

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8. 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则原平面图形的周长和面积分别为（）

A、2a， $\frac{\sqrt{2}}{4} a^{2}$ B、8a， $2 \sqrt{2} a^{2}$ C、8a， $a^{2}$ D、 $\sqrt{2} a$ ， $2 \sqrt{2} a^{2}$

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9. 在 $△$ ABC中，如果满足 $b c o s A = a c o s B$ ，则 $△$ ABC一定是（　　）

A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰或直角三角形

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10. 已知平面上不共线的四点 $O ， A ， B ， C$ ，若 $\vec{O A} - 4 \vec{O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $\frac{| \vec{A B} |}{| \vec{C A} |}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{4}{3}$

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二、填空题

11. 已知平面向量 $\vec{a} = (3 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， λ)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $λ$ ＝．

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12. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $c = \sqrt{13}$ ， $C = \frac{π}{3}$ ， $S_{△ A B C} = 3 \sqrt{3}$ ，则 $a + b =$

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13. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ， $B B_{1} = 4$ ，则长方体外接球的表面积为．

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14. 已知一组数据为5，6，6，7，8，10，则该组数据的方差是

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15. 在等腰梯形ABCD中,已知 $A B ∥ D C$ , $A B = 2, B C = 1, ∠ A B C = 60^{\circ},$ 点E和点F分别在线段BC和CD上,且 $\vec{B E} = \frac{2}{3} \vec{B C}, \vec{D F} = \frac{1}{6} \vec{D C},$ 则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的值为．

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三、解答题

16. 实数 $m$ 取什么值时，复数 $z = m^{2} - 1 + (m^{2} + 3 m + 2) i$ 是

(1)、实数；

(2)、虚数；

(3)、纯虚数；

(4)、零.

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17. 已知 $A (- 1 ， 0) ， B (0 ， 2) ， C (- 3 ， 1) ， \overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A D} = 5 ， {\overset{⇀}{A D}}^{2} = 10$ .

(1)、求点 $D$ 的坐标；

(2)、若点 $D$ 在第二象限，用 $\overset{⇀}{A B} ， \overset{⇀}{A D}$ 表示 $\overset{⇀}{A C}$ ；

(3)、设 $\overset{⇀}{A E} = (m ， 2)$ ，若 $3 \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A C}$ 与 $\overset{⇀}{A E}$ 垂直，求 $\overset{⇀}{A E}$ 的坐标.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $c - b = 2 b \cdot c o s A$ .

(1)、若 $a = 2 \sqrt{6}$ ， $b = 3$ ，求 $c$ ；

(2)、若角 $C = \frac{π}{2}$ ，求角 $B$ .

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19. 2021年秋季学期，某省在高一推进新教材，为此该省某市教育部门组织该市全体高中教师在暑假期间进行相关学科培训，培训后举行测试（满分100分），从该市参加测试的数学老师中抽取了100名老师并统计他们的测试分数，将成绩分成五组，第一组 $[65 ， 70)$ ，第二组 $[70 ， 75)$ ，第三组 $[75 ， 80)$ ，第四组 $[80 ， 85)$ ，第五组 $[85 ， 90]$ ，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求a的值以及这100人中测试成绩在 $[80 ， 85)$ 的人数；

(2)、估计全市老师测试成绩的第50%分数位（保留两位小数）；

(3)、若要从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交流分享，并在这6人中再抽取2人担当分享交流活动的主持人，求第四组至少有1名老师被抽到的概率．

(4)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(5)、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $f (A) = - 1$ ， $a = \sqrt{7}$ ，且向量 $\vec{m} = (3 ， s i n B)$ 与 $\vec{n} = (2 ， s i n C)$ 共线，求边长 $b$ 和 $c$ 的值．

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