山东省淄博市2021-2022学年高一下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-03-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. $\sin 17^{°} \cos 13^{°} + \sin 73^{°} \cos 77^{°} =$ （）．

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 下列命题中正确的是（）

A、 $\vec{O A}$ － $\vec{O B}$ ＝ $\vec{A B}$ B、 $\vec{A B}$ ＋ $\vec{B A}$ ＝0 C、0 $\vec{A B}$ ＝ $0$ D、 $\vec{A B}$ ＋ $\vec{B C}$ ＋ $\vec{C D}$ ＝ $\vec{A D}$

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3. 已知 $\bar{z} \cdot (1 + 2 i) = 2 - i$ ，则复数 $z =$ （）

A、-1 B、 $- i$ C、 $i$ D、 $2 + i$

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4. 在 $△ A B C$ 中，下列各式正确的是（）

A、 $\frac{a}{b} = \frac{s i n B}{s i n A}$ B、 $a s i n C = c s i n B$ C、 $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b c o s (A + B)$ D、 $a s i n (A + B) = c s i n A$

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5. 要得到函数 $y = 4 s i n (x + \frac{π}{6}) c o s (x + \frac{π}{6})$ 的图象，只需把函数 $y = 2 s i n 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 B、向右移 $\frac{π}{3}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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6. 在△ABC中，已知D是AB边上一点， $\vec{C D}$ ＝ $\frac{1}{3} \vec{C A}$ ＋λ $\vec{C B}$ ，则λ＝（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、－ $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. 已知两条直线 $a$ 、 $b$ 和平面 $α$ ，若 $b \subset α$ ，则“ $a / / b$ ”是“ $a / / α$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 若所有棱长都是3的直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）

A、 $12 π$ B、 $18 π$ C、 $21 π$ D、 $39 π$

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二、多选题

9. 在 $△ A B C$ 中，如下判断正确的是（）

A、若 $\sin 2 A = \sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 B、若 $A > B$ ，则 $\sin A > \sin B$ C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $\sin A > \cos B$ D、若 $\sin A > \sin B$ ，则 $A > B$

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10. 已知平面 $α \cap$ 平面 $β = c$ ，直线 $a \subset α$ ， $a / / c$ ，直线 $b \subset β$ ，且 $b$ 与 $c$ 相交，则 $a$ 和 $b$ 的位置关系不正确的是（）

A、平行 B、相交 C、异面 D、以上都有可能

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11. 下列命题正确的是（）

A、复数z₁ ， z₂的模相等，则z₁ ， z₂互为共轭复数 B、z₁ ， z₂都是复数，若z₁＋z₂是虚数，则z₁不是z₂的共轭复数 C、复数z是实数的充要条件是z＝ $\bar{z}$ ( $\bar{z}$ 是z的共轭复数) D、已知复数z₁＝－1＋2i，z₂＝1－i，z₃＝3－2i(i是虚数单位)，它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若 $\vec{O C} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ (x，y∈R)，则x＋y＝5

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12. 如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形E，F，G，H分别为 $P A ， P D ， P C ， P B$ 的中点.在此几何体中，给出下列结论，其中正确的结论是（）

A、平面 $E F G H / /$ 平面 $A B C D$ B、直线 $P A / /$ 平面 $B D G$ C、直线 $E F / /$ 平面 $P B C$ D、直线 $E F / /$ 平面 $B D G$

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三、填空题

13. 已知 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 3$ ， $\vec{e}$ 是与向量 $\vec{b}$ 方向相同的单位向量，向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{3}{2} \vec{e}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为

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14. 如图， $A B = 1 ， A C = 3 ， ∠ A = 90 ° ， \vec{C D} = 2 \vec{D B}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{A B} =$

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15. 一船向正北方向航行，看见正西方向有相距 $10$ 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见灯塔在船的南偏西 $6 0^{∘}$ 方向，另一灯塔在船的南偏西 $7 5^{∘}$ 方向，则这艘船的速度是

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16. 在△ABC中， $a ， b ， c$ 分别是角 $A ， B ， C$ 的对边，若 $a = \sqrt{3}$ ， $b + c = 3$ ，向量 $\vec{m} = (2 c o s 2 A + 3 ， 2) ， \vec{n} = (2 c o s A ， 1)$ ，且 $\vec{m} / / \vec{n}$ . 则△ABC的面积是

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四、解答题

17. 已知 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (- 2 ， 4) ， \vec{c} = (- 2 ， m)$ .

(1)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{b} + \vec{c})$ ，求 $| \vec{c} |$ ；

(2)、若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 共线，求 $k$ 的值.

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18.

(1)、已知关于 $x$ 的实系数方程 $x^{2} + m x + n = 0$ ，若 $1 + \sqrt{2} i$ 是方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的一个复数根，求出 $m$ ， $n$ 的值；

(2)、复数 $| z_{1} | = 1 ， z_{2} = 2 + 2 i ， | z_{1} - z_{2} |$ 的最大和最小值各是多少？（此小题只写出结果）

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19. 已知 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < 0)$ 的最小正周期为 $2 π$ ， $f (x)$ 图像关于直线 $x = \frac{2 π}{3}$ 对称.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将 $f (x)$ 的图像上所有点向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再将得到的图像上每个点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图像，求 $g (x)$ 的单调递增区间．

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20. 已知向量 $\vec{m} = (\sin x - \sqrt{3} \cos x ， 1) ， \vec{n} = (2 \sin x ， 4 \cos^{2} x)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .

(1)、若 $x \in [- \frac{π}{2} ， π]$ ，求函数 $f (x)$ 的减区间；

(2)、若 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，方程 $f (x) = a$ 有唯一解，求 $a$ 的取值范围.

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21. 如图所示，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M为PA上的点，且PM∶MA=5∶8.

(1)、在线段BD上是否存在一点N，使直线MN $/ /$ 平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，请说明理由；

(2)、假设存在满足条件（1）的N点，求线段MN的长.

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22. $Δ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $a \sin \frac{A + C}{2} = b \sin (B + C)$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $Δ A B C$ 为锐角三角形，且 $c = 2$ ，求 $Δ A B C$ 面积的取值范围。

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