山东省潍坊市2021-2022学年高一下学期数学5月优秀生测试试卷

试卷更新日期：2023-03-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知扇形的周长是6cm，面积是 $2 c m^{2}$ ，则扇形的中心角的弧度数是（）

A、1 B、4 C、1或4 D、2或4

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2. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是平面内两个不共线向量， $\vec{A B} = m \vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = 3 \vec{a} - \vec{b}$ ， A，B，C三点共线，则m＝（）

A、－ $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、－6 D、6

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3. $s i n 2 c o s 3 t a n 4$ 的值（）

A、等于0 B、大于0 C、小于0 D、不存在

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4. 已知 $\vec{i}$ ， $\vec{j}$ 是平面内的两个向量， $\vec{i} ⊥ \vec{j}$ ，且 $| \vec{i} | = | \vec{j} | = 2 ， \vec{a} = \vec{i} + 2 \vec{j} ， \vec{b} = - 3 \vec{i} + 4 \vec{j}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{5}$

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5. 已知 $θ$ 为第三象限角， $t a n 2 θ = - 2 \sqrt{2}$ ，则 $s i n^{2} θ + s i n (3 π - θ) c o s (2 π + θ) - \sqrt{2} c o s^{2} θ$ 等于（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 关于函数 $y = s i n (2 x + φ) (φ \in R)$ 有如下四个命题：
甲：该函数在 $(\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3})$ 上单调递减；
乙：该函数图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到一个偶函数；
丙：该函数图象的一条对称轴方程为 $x = \frac{5 π}{12}$
丁：该函数图象的一个对称中心为 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ ．
如果只有一个假命题．则该命题是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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7. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{A P} = \frac{11}{9} \vec{A B} - \frac{2}{9} \vec{A C}$ ，则P点（）

A、在线段BC上，且 $\frac{B P}{B C} = \frac{2}{9}$ B、在线段CB的延长线上，且 $\frac{B P}{B C} = \frac{2}{9}$ C、在线段BC的延长线上，且 $\frac{B P}{B C} = \frac{2}{9}$ D、在线段BC上，且 $\frac{C P}{B C} = \frac{2}{9}$

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8. 已知 $\frac{π}{8} < α < β < \frac{π}{2}$ ，且 $s i n 2 α s i n \frac{π}{4} - c o s 2 α s i n \frac{5}{4} π = \frac{1}{3} ， s i n 2 β c o s \frac{π}{4} + c o s 2 β s i n \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $c o s (2 β - 2 α)$ 的值为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{3}}{9}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{5 \sqrt{3}}{9}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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二、多选题

9. 下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} / / \vec{b} ， \vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ B、若 $\vec{a} = \vec{b} ， \vec{b} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ C、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ．则存在唯一实数 $λ$ ，使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ D、若点P为 $△ A B C$ 所在平面上一点，若 $\vec{P A} + \vec{P C} + 2 \vec{P B} = \vec{0}$ ，则 $△ A P B$ 面积与 $△ A B C$ 面积之比为1：4

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10. 已知 $α ， β ， γ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且 $α + β + γ = \frac{π}{2}$ ，则（）

A、若 $s i n α + c o s α = \sqrt{2}$ ，则 $t a n α = 1$ B、若 $t a n α = \frac{1}{2}$ ，则 $s i n (β + γ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $t a n α ， t a n β$ 可能是方程 $x^{2} - 6 x + 7 = 0$ 的两根 D、 $t a n α t a n β + t a n β t a n γ + t a n γ t a n α = 1$

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11. 已知点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 是函数 $f (x) = c o s (ω x + φ) (0 < ω < 3 ， | φ | < π)$ 图象的一个对称中心，且 $f (x)$ 在 $x = \frac{5 π}{12}$ 处取得最大值，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ 上的值域为 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$ C、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{5 π}{12} ， \frac{11 π}{12}]$ 上单调递减 D、若 $f (x) = - \frac{1}{2} (x \in [0 ， 2 π])$ 的根为 $x_{i} (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n)$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} = \frac{11 π}{3}$

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12. 设 $| \vec{O A} | = 8 ， | \vec{O B} | = 5$ ，且对任意 $t \in R$ ，均有 $| \vec{O B} | \leq | \vec{O B} + t \vec{O A} |$ ， D为线段AB上一点，连接OD并延长到P，使 $| \vec{O P} | = 15$ ，若 $\vec{P O} = x \vec{P B} + (\frac{5}{3} - x) \vec{P A}$ ，则（）

A、 $△ A B O$ 为直角三角形 B、 $| \vec{P D} | = 10$ C、 $| \vec{O D} | = 6$ D、这样的D点有2个

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三、填空题

13. 若 $\vec{O A} = 3 \vec{O B} - 2 \vec{O C}$ ，则 $\frac{| \vec{A B} |}{| \vec{A C} |} =$ ．

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14. 函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为．

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15. 设 $\vec{a} = (3 ， 2) ， \vec{b} = (\sqrt{x - 3} ， \sqrt{10 - x})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最大值为．

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16. 函数 $f (x) = \sqrt{3} c o s ω x + 3 s i n ω x (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的值域为 $[\sqrt{3} ， 2 \sqrt{3}]$ ，则实数 $ω$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知 $s i n α = 1 - s i n (\frac{π}{2} + β)$ ，求 $s i n^{2} α + s i n (\frac{π}{2} - β) + 1$ 的取值范围．

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18. 如图所示，已知矩形ABCD中， $A B = 2 ， A D = 1 ， \vec{D M} = \frac{1}{3} \vec{D C} ， \vec{B N} = \frac{2}{3} \vec{B C}$ ， AC与MN相交于点E．

(1)、若 $\vec{M N} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，求 $λ$ 和 $μ$ 的值；

(2)、用向量 $\vec{A M} ， \vec{A N}$ 表示 $\vec{A E}$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = 3 s i n (2 x + \frac{π}{6}) - 6 s i n (x + \frac{π}{4}) s i n (x + \frac{3}{4} π)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、若函数 $y = f (x) - k$ 在区间 $[0 ， \frac{13}{12} π]$ 上有且仅有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，求k的取值范围，并求 $x_{1} + x_{2}$ 的值．

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20. 少林寺作为国家AAAAA级旅游景区，每年都会接待大批游客，在少林寺的一家专门为游客提供住宿的客栈中，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重．为了控制经营成本，减少浪费，计划适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在1月份最少，在7月份最多，相差约400；③1月份入住客栈的游客约为300人，随后逐月递增，在7月份达到最多.

(1)、试用一个正弦型函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；

(2)、请问客栈在哪几个月份要至少准备600份食物?

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21. 如图，圆 $O$ 是边长为 $4$ 的正方形 $A B C D$ 的内切圆， $S$ 为圆周上一点，过 $S$ 作 $A B$ ， $A D$ 的垂线，垂足分别为 $M$ ， $N$ ．设 $p = \overset{⇀}{O M} \cdot \overset{⇀}{O A}$ ， $q = \overset{⇀}{O N} \cdot \overset{⇀}{O B}$

(1)、求 $p q$ 的取值范围；

(2)、求 $\frac{5 - {\vec{O M}}^{2}}{q + 8}$ 的最小值．

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22. 在 $△ A B C$ 中，设 $\vec{C A} = \vec{a} ， \vec{C B} = \vec{b} ， | \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = 4$ ， P为 $△ A B C$ 内任意动点记 ${\vec{P A}}^{2} + {\vec{P B}}^{2} + {\vec{P C}}^{2}$ 取最小值时的点P为 $P_{0}$ ．过 $P_{0}$ 作直线交线段CA于M．交线段CB于N，试求 $\frac{1}{| \vec{C M} |} + \frac{2}{| \vec{C N} |}$ 的值．

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