2023年浙教版数学八年级下学期高分速效复习2 二次根式（进阶版）

试卷更新日期：2023-03-28 类型：复习试卷

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 等式 $\sqrt{\frac{x}{x - 3}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 3}}$ 成立的条件是（）

A、x≠3 B、x≥0 C、x≥0且x≠3 D、x>3

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2. 下列各式正确的是（）

A、 $(\sqrt{2} + \sqrt{5}) \times \sqrt{7} = \sqrt{7} \times \sqrt{7} = 7$ B、 $(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 5 - \sqrt{6}$ C、 $(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 3 - 2 = 1$ D、 ${(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{2} = 5 - 3 = 2$

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3. 若 $| x | = 6$ ， $\sqrt{y^{2}} = 10$ ，且 $x + y < 0$ ，则 $x - y$ 的值是（）

A、-16 B、16或-16 C、4或 $- 16$ D、4或16

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4. 已知n是一个正整数，若 $\sqrt{135 n}$ 是整数，则n的最小值是（）

A、3 B、5 C、15 D、25

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5. 若二次根式 $\sqrt{2 - m}$ 有意义，且关于x的分式方程 $\frac{m}{1 - x}$ +2＝ $\frac{3}{x - 1}$ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（）

A、﹣7 B、﹣6 C、﹣5 D、﹣4

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6. 已知 $2 < a < 4$ ，则化简 $\sqrt{1 - 2 a + a^{2}} + \sqrt{a^{2} - 8 a + 16}$ 的结果是（）

A、 $2 a ﹣ 5$ B、 $5 ﹣ 2 a$ C、﹣3 D、3

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7. 化简后，与 $\sqrt{2}$ 的被开方数相同的二次根式是（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{6}}$

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8. 估计 $\sqrt{2} \div \sqrt{\frac{1}{10}} + \sqrt{5}$ 的值应在（）

A、5和6之间 B、6和7之间 C、7和8之间 D、8和9之间

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9. 已知 $m = (- \frac{\sqrt{3}}{3}) \times (- 2 \sqrt{30})$ ，若a，b为两个连续的整数，且 $a < m < b$ ，则 $a + b =$ （）

A、13 B、14 C、12 D、11

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10. 如果 $a b > 0$ ， $a + b < 0$ 那么下面各式： $① \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} ； ② \sqrt{\frac{a}{b}} \cdot \sqrt{\frac{b}{a}} = 1 ； ③ \sqrt{a b} \div \sqrt{\frac{a}{b}} = - b ；$ 其中正确的是（）

A、①② B、①③ C、①②③ D、②③

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二、填空题（每空3分，共18分）

11. $（ \sqrt{6} + \sqrt{5} ）^{2021} \times （ \sqrt{6} - \sqrt{5} ）^{2022}$ = ．

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12. 已知△ABC的三边长a、b、c满足 $\sqrt{a - 1}$ ＋|b－ $\sqrt{3}$ |＋(c－2)²＝0，则△ABC一定是三角形.

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13. 若实数x，y，m满足等式 $\sqrt{3 x + 5 y - 3 - m} + {(2 x + 3 y - m)}^{2}$ $= \sqrt{x + y - 2} - \sqrt{2 - x - y}$ ，则m+4的算术平方根为．

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14. 若 $\frac{\sqrt{x^{2}}}{x} = 1$ ，请写出一个符合条件的 $x$ 的值．

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15. 已知y＝ $\sqrt{2 x - 1} - \sqrt{1 - 2 x}$ +8x，则 $\sqrt{4 x + 5 y - 6}$ 的平方根为

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16. 已知 $a 、 b$ 为有理数， $m 、 n$ 分别表示 $5 - \sqrt{7}$ 的整数部分和小数部分，且 $a m n + b n^{2} = 1$ ，则 $2 a + b =$ .

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三、计算题（共6分）

17. 计算：

(1)、2 $\sqrt{12} - 6 \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{3}$ ；

(2)、（3 $\sqrt{12}$ ﹣2 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ + $\sqrt{48}$ ）÷2 $\sqrt{3} + (\sqrt{\frac{1}{2}})^{2}$ ．

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四、解答题（共3题，共15分）

18. 已知实数a满足a+b﹣4＜0，b＝ $\sqrt{(- 3)^{2}}$ ，当2≤x≤4时，一次函数y＝ax+1（a≠0）的最大值与最小值之差是6，求a的值.

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19. 若x ， y为实数，且y＝ $\sqrt{1 - 4 x}$ ＋ $\sqrt{4 x - 1}$ ＋ $\frac{1}{2}$ ．求 $\sqrt{\frac{x}{y} + 2 + \frac{y}{x}}$ － $\sqrt{\frac{x}{y} - 2 + \frac{y}{x}}$ 的值．

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20. 阅读与思考
请仔细阅读并完成相应任务：在解决问题“已知 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，求 $3 a^{2} - 6 a - 1$ 的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵ $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{2} + 1$
∴ $. a - 1 = \sqrt{2}$ ，
∴ $a^{2} - 2 a = 1$ ，
∴ $3 a^{2} - 6 a = 3 ， 3 a^{2} - 6 a - 1 = 2$ .
任务：请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若 $∵ a = \frac{2}{3 - \sqrt{7}}$ ，求 $2 a^{2} - 12 a + 1$ 的值.

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五、综合题（共6题，共51分）

21. 如图所示，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地时需经过C地沿折线A→C→B行驶，开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10 km，∠A=30°∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？

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22. 阅读下列解题过程：
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1$ ；
$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ；
$\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{4} - \sqrt[]{3})}{(\sqrt{4} + \sqrt{3}) (\sqrt{4} - \sqrt{3})} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$ ；……

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{9}} =$ ； $\frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}} =$ ．
观察上面的解题过程，请直接写出式子 $\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}} =$ ．

(2)、利用这一规律计算：
$(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})} + \frac{1}{(\sqrt{4} + \sqrt{3})} + ⋯ + \frac{1}{(\sqrt{2021} + \sqrt{2020}}) \cdot (\sqrt{2021} + 1)$ 的值．

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23. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： $3 + 2 \sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^{2}$ ，善于思考的小明进行了以下探索：
设 $a + b \sqrt{2} = (m + n \sqrt{2})^{2}$ （其中 $a ， b ， m ， n$ 均为整数），则有 $a + b \sqrt{2} = m^{2} + 2 n^{2} + 2 m n \sqrt{2}$ . $∴ a = m^{2} + 2 n^{2} ， b = 2 m n$ .这样小明就找到了一种把部分 $a + b \sqrt{2}$ 的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)、当 $a ， b ， m ， n$ 均为正整数时，若 $a + b \sqrt{3} = (m + n \sqrt{3})^{2}$ ，用含 $m ， n$ 的式子分别表示 $a ， b$ ，得 $a =$ ， $b =$ ；

(2)、若 $a + 4 \sqrt{3} = (m + n \sqrt{3})^{2}$ ，且 $a ， m ， n$ 均为正整数，求 $a$ 的值.

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24. 在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．

(1)、按照下面的解法，试化简： $\sqrt{(x - 3)^{2}}$ -（ $\sqrt{2 - x}$ ）² ．
化简：（ $\sqrt{(1 - 3 x)}$ ）²-|1-x|
解：隐含条件1-3x≥0
解得x≤ $\frac{1}{3}$ ∴1-x＞0
∴原式＝（1-3x）-（1-x）
＝1-3x-1+x
＝-2x

(2)、实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 $\sqrt{a^{2}} + {\sqrt{(a + b)}}^{2}$ -|b-a|；

(3)、已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：
$\sqrt{{(a + b + c)}^{2}} + {\sqrt{(a - b - c)}}^{2} + {\sqrt{(b - a - c)}}^{2} + \sqrt{{(c - b - a)}^{2}}$

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25. 定义：我们将 $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ 与 $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$ 称为一对“对偶式”，因为 $(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})$
$= {(\sqrt{a})}^{2} - {(\sqrt{b})}^{2} = a - b$ ，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将 $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ 中的“根号”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}$ .像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：

(1)、对偶式 $2 + \sqrt{3}$ 与 $2 - \sqrt{3}$ 之间的关系为____.

A、互为相反数 B、互为倒数 C、绝对值相等 D、没有任何关系

(2)、已知 $x = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ， $y = \frac{1}{\sqrt{5} + 2}$ ，求 $\frac{x - y}{x^{2} y + x y^{2}}$ 的值.

(3)、解方程： $\sqrt{24 - x} - \sqrt{8 - x} = 2$ （提示：利用“对偶式”相关知识，令 $\sqrt{24 - x} + \sqrt{8 - x} = t$ ）.

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26. 由 ${(a - b)}^{2} \geq 0$ 得， $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ ；如果两个正数a，b，即 $a > 0 ， b > 0$ ，则有下面的不等式： $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，当且仅当 $a = b$ 时取到等号.
例如：已知 $x > 0$ ，求式子 $x + \frac{4}{x}$ 的最小值.

解：令 $a = x ， b = \frac{4}{x}$ ，则由 $a + b > 2 \sqrt{a b}$ ，得 $x + \frac{4}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 4$ ，当且仅当 $x = \frac{4}{x}$ 时，即 $x = 2$ 时，式子有最小值，最小值为4.

请根据上面材料回答下列问题：

(1)、当 $x > 0$ ，式子 $x + \frac{1}{x}$ 的最小值为；当 $x < 0$ ，则当 $x =$ 时，式子 $4 x + \frac{36}{x}$ 取到最大值；

(2)、用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

(3)、如图，四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点O， $△ A O B$ 、 $△ C O D$ 的面积分别是8和14，求四边形 $A B C D$ 面积的最小值.

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