山东省青岛市市南区、市北区、崂山区2023年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2023-03-27 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列四个数中，属于有理数的是（）

A、 $\frac{1}{11}$ B、 $\sqrt[3]{15}$ C、 $π$ D、 $- \sqrt{2}$

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2. 网络用语“6”是比较厉害的意思，且“6”本身是一个自然数，将数字 $0.000000006$ 用科学记数法表示（）

A、 $- 6 \times 1 0^{9}$ B、 $- 0.6 \times 1 0^{8}$ C、 $0.6 \times 1 0^{- 8}$ D、 $6 \times 1 0^{- 9}$

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3. “中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．下列四个中国结图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 下列运算：① $\frac{x y^{2}}{5} - x y^{2} = \frac{1}{5}$ ；② $(- 3 a^{2} b)^{2} = 6 a^{4} b^{2}$ ；③ $a^{3} \cdot b \div a = a^{2} b$ ；④ $(- m n^{3})^{2} = m^{2} n^{6}$ ，其中结果正确的个数为（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. ．如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 4$ ，以点C为圆心，2为半径的圆与边 $A B$ 相切于点D，与 $A C$ ， $B C$ 分别交于点E和点F，点H是优弧 $E F$ 上一点， $∠ E H F = 70 °$ ，则 $∠ B D F$ 的度数是（）

A、 $35 °$ B、 $40 °$ C、 $55 °$ D、 $60 °$

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7. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 4 ， B C = 6$ ，点E为BC的中点，将 $△ A B E$ 沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF.则CF的长为（）

A、 $\frac{18}{5}$ B、 $\frac{16}{5}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{9}{5}$

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8. 在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝﹣ax²﹣b的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 计算： $\frac{\sqrt{27} - \sqrt{12}}{\sqrt{3}} - 2^{- 1} + t a n^{2} 3 0^{°}$ ＝.

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10. 关于x的函数 $y = (k - 2) x^{2} - (2 k - 1) x + k$ 的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是．

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11. 元旦期间，某游乐场发布一游戏规则：在一个装有6个红球和若干个白球的不透明袋子中，随机摸出一个球，摸到红球就可获得欢动世界通票一张．已知有300人参加这个游戏，游乐场为此发放欢动世界通票60张，请你估计袋子中白球的数量是个．

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12. 某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x ，根据题意可列方程是．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $B C = \frac{6 \sqrt{5}}{5}$ ， $A C = \frac{12 \sqrt{5}}{5}$ . $△ A B C$ 绕点B顺时针方向旋转45°得到 $△ B A^{'} C^{'}$ ，点A经过的路径为弧 $A A^{'}$ ，点C经过的路径为弧 $C C^{'}$ ，则图中阴影部分的面积为.（结果保留 $π$ ）

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14. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，连接 $B D$ ，过点C作 $∠ D B C$ 平分线 $B E$ 的垂线，垂足为点E ，且交 $B D$ 于点F；过点C作 $∠ B D C$ 平分线 $D H$ 的垂线，垂足为点H ，且交 $B D$ 于点G ，连接 $H E$ ，若 $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $C D = \sqrt{2}$ ，则线段 $H E$ 的长度为．

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三、解答题

15. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图， $∠ B A C = 45 °$ ， D，E在 $A B$ 上，作 $⊙ O$ 经过D，E两点且与 $A C$ 相切．

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16. 计算：

(1)、化简： $(1 - \frac{2}{a - 2}) \div \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 - a^{2}}$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} x - 3 (x - 2) \leq 4 \\ \frac{1 + 2 x}{3} > x - 1 \end{array}$ ，并写出它的最大整数解．

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17. 有四张反面完全相同的纸牌 $A ， B ， C ， D$ ，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．

(1)、从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是

(2)、小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由．（纸牌用 $A ， B ， C ， D$ 表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．

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18. 2022年北京冬奥会的召开惊艳世界，冬奥村的餐厅更是得到了各国运动员的好评．运动员主餐厅位于北京冬奥村居住区西南侧，共设置了世界餐台、亚洲餐台、中餐餐台、清真餐台、鲜果台、面包和甜品台等12种餐台．一送餐机器人从世界餐台A处向正南方向走200米到达亚洲餐台B处，再从B处向正东方向走500米到达中餐餐台C处，然后从C处向北偏西37°走到就餐区D处，最后从D回到A处，已知就餐区D在A的北偏东73°方向，求中餐台C到就餐区D（即CD）的距离．（结果保留整数）（参考数值： $s i n 73 ° \approx \frac{19}{20}$ ， $c o s 73 ° \approx \frac{29}{100}$ ， $t a n 73 ° \approx \frac{10}{3}$ ， $s i n 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $c o s 37 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $t a n 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ．）

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19. 2022年末，中国迎来第一波疫情高峰．为加强同学们的防护意识，某校举行了以“疫情防护”为主题的知识竞赛活动．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，下面为部分数据：其中“ $80 \leq x < 90$ ”这组的部分数据（从小到大排序）如下：80，82，82，83，83，84，85，85，85，86，87，87，87，88，88……其中“ $90 \leq x \leq 100$ ”这组的数据如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100．
竞赛成绩分组统计表
组别
竞赛成绩分组
频数
平均分
1
$60 \leq x < 70$
8
65
2
$70 \leq x < 80$
a
75
3
$80 \leq x < 90$
b
88
4
$90 \leq x \leq 100$
10
95
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、下列说法正确的是____．

A、样本为n名学生 B、a＝12 C、m＝40

(2)、“ $90 \leq x \leq 100$ ”这组的数据的众数是．

(3)、随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是；平均分是；

(4)、若学生竞赛成绩达到96分以上（含96分）获奖，请你估计全校1200名学生中获奖的人数．

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20. 已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y₁），C（6m，y₂），其中m＞0．

(1)、当y₁﹣y₂=4时，求m的值；

(2)、如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．

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21. “冰墩墩”和“雪容融”作为第24届北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，某文旅店订购“冰墩墩”花费6000元，订购“雪容融”花费3200元，其中“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多20元，并且订购“冰墩墩”的数量是“雪容融”的1.25倍．

(1)、求文旅店订购“冰墩墩”和“雪容融”的数量分别是多少个；（请列分式方程作答）

(2)、该文旅店以100元和80元的单价销售“冰墩墩”和“雪容融”，在“冰墩墩”售出 $\frac{3}{4}$ ， “雪容融”售出 $\frac{1}{2}$ 后，文旅店为了尽快回笼资金，决定对剩余的“冰墩墩”每个打a折销售，对剩余的“雪容融”每个降价2a元销售，很快全部售完，若要保证文旅店总利润不低于6060元，求a的最小值．

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22. 已知：如图，正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点O， $∠ C A B$ 的平分线分别交 $B D$ ， $B C$ 于点E，F，作 $B H ⊥ A F$ 于点H，分别交 $A C$ ， $C D$ 于点G，P，连接 $G E$ ， $G F$ ．

(1)、求证： $△ O A E ≅ △ O B G$ ；

(2)、判断四边形 $B F G E$ 是什么特殊四边形？并证明你的结论．

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23. 某企业生产一种新产品，每件成本50元．

(1)、由于新产品市场占有率较低，去年上市初期销量逐渐减少，1至6月，图销售量 $y_{1}$ （件）与月份x（月）满足一次函数关系；随着新产品逐渐得到市场认可，销量增加，6至12月，月销售量 $y_{2}$ （件）与月份x（月）满足二次函数关系，且6月份的月销售量是该二次函数的最小值，函数关系如图所示．
①分别求出 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 与x之间的函数关系式；
②已知去年1至6月每件该产品的售价z（元）与月份x之间满足函数关系： $z = 60 + 5 / 2 x$ （ $1 ≤ x ≤ 6$ ， x为整数），除成本外，平均每销售一件产品还需额外支出杂费p元，p与月份x之间满足函数关系： $p = 1 / 2 x$ （ $1 ≤ x ≤ 6$ ， x为整数）从7月至12月每件产品的售价和杂费均稳定在6月的水平．去年1至12月，该产品在第几月获得最大利润？并求出最大利润．

(2)、今年以来，由于物价上涨及积压了去年未销售的产品等因素，该企业每月均需支出杂费6000元（不论每月销售量如何，且天数不满一月时，按整月计算）．为了出售去年积压的4000件该产品，企业计划以单价70元销售，每月可卖出350件．为了尽快回笼资金并确保获利，企业决定降价销售，每降价1元（降价金额为整数），每月可多卖出50件，且要求在5个月内（含5个月）将这批库存全部售出，如何定价可使获利最大？

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24. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

(1)、 [观察与猜想]
如图①，在正方形 $A B C D$ 中，点E、F分别是 $A B$ 、 $A D$ 上的两点，连接 $D E$ 、 $C F$ ， $D E ⊥ C F$ ，则 $\frac{D E}{C F}$ 的值为＝；

(2)、如图②，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 7$ ， $C D = 4$ ，点E是 $A D$ 上的一点，连接 $C E$ ， $B D$ ，且 $C E ⊥ B D$ ，则 $\frac{C E}{B D}$ 的值为．

(3)、 [性质探究]
如图③，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ B = 90 °$ ．点E为 $A B$ 上一点，连接 $D E$ ，过点C作 $D E$ 的垂线交 $E D$ 的延长线于点G，交 $A D$ 的延长线于点F．求证： $D E \cdot A B = C F \cdot A D$ ；

(4)、[拓展延伸]已知四边形 $A B C D$ 是矩形， $A D = 6$ ， $A B = 8$
如图④，点P是 $B C$ 上的点，过点P作 $P E ⊥ C F$ ，垂足为O，点O恰好落在对角线 $B D$ 上．求 $\frac{O C}{O E}$ 的值；

(5)、如图⑤，点P是 $B C$ 上的一点，过点P作 $P E ⊥ C F$ ，垂足为O，点O恰好落在对角线 $B D$ 上，延长 $E P$ 、 $A B$ 交于点G．当 $B G = 2$ 时， $D E =$ ．

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25. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分AC．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：

(1)、当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？

(2)、设四边形PEGO的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式；

(3)、在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

(4)、连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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组别	竞赛成绩分组	频数	平均分
1	$60 \leq x < 70$	8	65
2	$70 \leq x < 80$	a	75
3	$80 \leq x < 90$	b	88
4	$90 \leq x \leq 100$	10	95