广东省佛山市2023年中考一模数学试卷

试卷更新日期：2023-03-27 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列四个实数中，最小的实数是（）

A、 $- 2023$ B、0 C、 $0.999$ D、1

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2. 数据显示，中国已实现“带动三亿人参与冰雪运动”的目标，全国冰雪运动参与人数达到3.46亿人．数据“3.46亿”用科学记数法表示是（）

A、 $3.46 \times 1 0^{9}$ B、 $3.46 \times 1 0^{8}$ C、 $34.6 \times 1 0^{7}$ D、 $346 \times 1 0^{6}$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{8} - a^{7} = a$ B、 $a^{8} \div a^{4} = a^{2}$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ D、 ${(- a^{3})}^{2} = a^{6}$

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4. 我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图所示，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上， $∠ 1 = 20 °$ ， $∠ 2 = 30 °$ ，则 $∠ 3$ 的度数为（）

A、 $130 °$ B、 $120 °$ C、 $110 °$ D、 $50 °$

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6.
用一平面去截下列几何体，其截面可能是长方形的有（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛的成绩（平均数和方差）：
选手
成绩
甲
乙
丙
丁
平均数（环）
$9.4$
$9.5$
$9.4$
$9.5$
方差
$6.3$
$6.8$
$6.7$
$6.6$
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，则选择____较适宜；（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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8. 某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），则小明至少答对了____道题．（）

A、17 B、18 C、19 D、16

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9. 如图，四边形 $A B C D$ 为⊙ $O$ 的内接四边形，若四边形 $O B C D$ 为菱形， $∠ A$ 为（）.

A、45° B、60° C、72° D、36°

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10. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴是直线 $x = 1$ ，其部分图象如图所示，下列说法中：① $a b c > 0$ ；② $4 a - 2 b + c < 0$ ；③若 $A (- \frac{1}{2} ， y_{1})$ 、 $C (- 2 ， y_{2})$ 是抛物线上的两点，则有 $y_{2} < y_{1}$ ；④若m，n $(m < n)$ 为方程 $a (x - 3) (x + 1) = 2$ 的两个根，则 $m > - 1$ 且 $n < 3$ ；以上说法正确的有（）

A、①②③④ B、②③④ C、②④ D、②③

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二、填空题

11. 因式分解： $a^{2} - 4 a =$ .

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12. 若两个相似三角形的相似比为 $4 ： 3$ ，则它们的面积比是．

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13. 若实数m，n满足 ${(m - 4)}^{2} + \sqrt{n + 3} = 0$ ，则 $\sqrt{m^{2} + n^{2}}$ 的值是；

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14. 如图，创新小组要测量公园内一棵树AB的高度，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为45°，已知测角仪的架高CE＝1.2米，则这棵树的高度为米．

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15. 如图所示，等边 $△ A B C$ 的边长为4，点F在 $△ A B C$ 内运动，运动过程始终保持 $∠ A F B = 90 °$ ，则线段 $C F$ 的最小值为；

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三、解答题

16. 先化简，再求值： $(a + b) (a - b) + b (a + 2 b) - {(a + b)}^{2}$ ，其中 $a = - \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{6}$ ．

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17. 如图所示，菱形 $A B C D$ 中，点M、N分别是边 $B C 、 D C$ 上的点， $B M = \frac{2}{3} B C$ ， $D N = \frac{2}{3} D C$ ，连接 $A M 、 A N$ ，延长 $A N$ 交线段 $B C$ 延长线于点E；

(1)、求证： $△ A B M ≌ △ A D N$ ；

(2)、若菱形 $A B C D$ 边长为6，则线段 $C E$ 的长是；

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18. 为落实中小学课后服务工作的要求，某校开设了四门校本课程供学生选择：A（合唱社团）、B（陶艺社团）、C（数独社团）、D（硬笔书法），七年级共有120名学生选择了C课程．为了解选择C课程学生的学习情况，张老师从这120名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制，单位：分）分成六组，绘制成频数分布直方图．

(1)、 $80 ～ 90$ 分这组的数据为：81、89、84、84、84、86、85、88、83，则这组数据的中位数是分、众数是分；

(2)、根据题中信息，可以估算七年级选择C课程的学生成绩在 $70 ～ 90$ 分的人数是人；

(3)、七年级每名学生必须选两门不同的课程，小明和小华在选课程的过程中，第一门都选了课程C．他俩决定随机选择第二门课程，请用列表法或树状图的方法求他俩同时选到课程A或课程B的概率．

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19. 我国古代数学著作《九章算术》中记载有这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的 $\frac{2}{3}$ ，那么乙也共有钱50，问甲、乙二人各带了多少钱？

(1)、求甲、乙两人各带的钱数；

(2)、若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数（单位：元）恰好等于甲、乙两人各带的钱数，已知作业本的单价为2.5元/本．由于开学之际，文具店搞促销活动，凡消费50元可以打八折，那么他们合起来购买可以比单独购买多多少本作业本？

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20. 如图所示， $C E$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 为 $⊙ O$ 的切线，D为 $⊙ O$ 上的一点， $∠ D C E = \frac{1}{2} ∠ A$ ，延长 $A D$ 交 $C E$ 的延长线于点B，连接 $C D$ ．若 $B E = O E = 6$ ．

(1)、求证：AD为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求图中阴影部分的面积．

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21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y_{1} = k x + b (k \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象相交于第一、三象限内的 $A (3 ， 5) ， B (a ， - 3)$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $C$ .

(1)、求该反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、在 $y$ 轴上找一点 $P$ 使 $P B - P C$ 最大，求 $P B - P C$ 的最大值及点 $P$ 的坐标；

(3)、直接写出当 $y_{1} > y_{2}$ 时， $x$ 的取值范围.

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22. 数学学习总是循序渐进、不断延伸拓展的，数学知识往往起源于人们为了解决某些问题，通过观察、测量、思考、猜想出的一些结论．但是所猜想的结论不一定都是正确的．人们从已有的知识出发，经过推理、论证后，如果所猜想的结论在逻辑上没有矛盾，就可以作为新的推理的前提，数学中称之为定理．

(1)、推理证明：
在八年级学习等腰三角形和直角三角形时，借助工具测量就能够发现：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，当时并未说明这个结论的符合题意性．九年级学习了矩形的判定和性质之后，就可以解决这个问题了．如图1，在 $R t △ A B C$ 中，若 $C D$ 是斜边 $A B$ 上的中线，则 $C D = \frac{1}{2} A B$ ，请你用矩形的性质证明这个结论的符合题意性．

(2)、迁移运用：利用上述结论解决下列问题：
①如图2，在线段 $B D$ 异侧以 $B D$ 为斜边分别构造两个直角三角形 $△ A B D$ 与 $△ C B D$ ， E、F分别是 $B D$ 、 $A C$ 的中点，判断 $E F$ 与 $A C$ 的位置关系并说明理由；
②如图3， $▱ A B C D$ 对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点O，分别以 $A C$ 、 $B D$ 为斜边且在同侧分别构造两个直角三角形 $△ A C E$ 与 $△ B D E$ ，求证： $▱ A B C D$ 是矩形；

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23. 如图，抛物线经过 $A (- 4 ， 0)$ ， $B (- 1 ， 0)$ ， $C (0 ， 2)$ 三点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在直线 $A C$ 下方的抛物线上有一点D，使得 $△ D C A$ 的面积最大，求点D的坐标以及 $△ D C A$ 的面积的最大值．

(3)、点P是抛物线上一个动点，过P作 $P M ⊥ x$ 轴于M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与 $△ O A C$ 相似？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

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