安徽省合肥市新站高新区2023年九年级第一次模拟检测数学试题

试卷更新日期：2023-03-27 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 二次函数 $y = - \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} - 4$ 图象的顶点坐标是（）

A、 $(3 ， 4)$ B、 $(- 3 ， 4)$ C、 $(- 3 ， - 4)$ D、 $(3 ， - 4)$

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2. 下列图形中，主视图和左视图一样的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图， $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ ，且 $S_{△ A D E} ： S_{梯形 B C E D} = 1 ： 2$ ，则 $D E ： B C$ 的值是（）

A、 $1 ： 2$ B、 $1 ： 3$ C、 $1 ： \sqrt{2}$ D、 $1 ： \sqrt{3}$

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4. 一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（）

A、 $5 c o s 31 °$ B、 $5 s i n 31 °$ C、 $\frac{5}{s i n 31 °}$ D、 $5 t a n 31 °$

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5. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”.若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为 $1200 N$ 和 $0.5 m$ ，则这一杠杆的动力 $F$ 和动力臂 $l$ 之间的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若 $\frac{a - b}{a} = \frac{3}{4}$ ，则 $\frac{b}{a}$ 的值等于（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{2}{5}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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7. 如图，在 $R t △ A C B$ 中， $∠ C = 90 °$ ， D是 $A C$ 的中点， $A C = 8$ ， $t a n ∠ C A B = \frac{1}{2}$ ，则 $s i n ∠ D B A$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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8. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D$ 交 $A B$ 于点E，连接 $A C 、 A D$ ．若 $∠ B A C = 28 °$ ，则 $∠ D$ 的度数是（）

A、 $56 °$ B、 $58 °$ C、 $62 °$ D、 $72 °$

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9. 如图， $△ A B C$ 为等边三角形， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $A B = 2$ ，点E为 $B D$ 上动点，连接 $A E$ ，则 $A E + \frac{1}{2} B E$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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10. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} + m - 2$ 的图像经过第四象限，则m的取值范围是（）

A、 $- 2 < m < 2$ B、 $m \leq 1$ C、 $m \geq 0$ D、 $1 \leq m < 2$

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二、填空题

11. 若 $0 ° < α < 45 °$ ，且 $s i n 2 α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $α =$ 度．

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12. 如图，线段 $A B$ 与 $⊙ O$ 相切于点B，线段 $A O$ 与 $⊙ O$ 相交于点C， $A B = 8$ ， $A C = 4$ ，则 $⊙ O$ 的半径长为．

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13. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，矩形 $O A B C$ 的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，矩形 $D E F G$ 的边 $D E$ 在 $B C$ 上， $A B = E F$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过点B，若阴影部分面积为4，则k的值为．

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14. 如图，在边长为10的正方形 $A B C D$ 中，M，N分别是 $B C$ 、 $C D$ 的中点， $A M$ 交 $B N$ 于点E，连接 $D E$ ，过点A作 $A F ⊥ D E$ ，垂足为F，延长 $A F$ 分别交 $B N ， C D$ 于G，D，求：

(1)、 $D E =$

(2)、 $\frac{F G}{G Q} =$

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三、解答题

15. 计算： ${(- 2023)}^{0} - 3 t a n 30 ° - {(- \frac{1}{2})}^{- 1} + \sqrt{12}$

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16. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (- 2 ， 1)$ 、 $B (- 3 ， 2)$ 、 $C (- 1 ， 4)$

(1)、以原点O为位似中心，在第二象限内画出将 $△ A B C$ 放大为原来的2倍后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(2)、画出 $△ A B C$ 绕O点顺时针旋转 $90 °$ 后得到的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

(3)、直接写出点B所经过的路径长．

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17. 已知抛物线 $y = x^{2} - 6 x + k$ 的顶点在直线 $y = - 2 x - 1$ 上

(1)、求k的值；

(2)、请判断抛物线与x轴交点的个数，并说明理由．

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18. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A D$ 为直径，点B、C在 $⊙ O$ 上， $B C$ 交 $A D$ 于点E（ $A E > D E$ ）连接 $C A$ ， $B D$ ．

(1)、求证： $△ A E C ∽ △ B E D$ ；

(2)、若 $B E = C E = 2 \sqrt{6}$ ， $A D = 10$ ，求 $D E$ 的长．

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19. 2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图， $O A$ 是垂直于工作台的移动基座， $A B$ 、 $B C$ 为机械臂， $O A = 1$ m， $A B = 5$ m， $B C = 2$ m， $∠ A B C = 143 °$ ．机械臂端点 $C$ 到工作台的距离 $C D = 6$ m．

(1)、求 $A$ 、 $C$ 两点之间的距离；

(2)、求 $O D$ 长．（结果精确到0.1m，参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ， $\sqrt{5} \approx 2.24$ ）

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20. 如图，直线 $y = a x + 4$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 交于 $A (n ， 6)$ ， $B (- 3 ， - 2)$ 两点，连接 $A O$ ， $O B$ ．

(1)、求 $△ A O B$ 的面积；

(2)、根据函数图象，直接写出不等式 $a x + 4 > \frac{k}{x}$ 的解集是．

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21. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：

(1)、共有名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是度；

(2)、补全调查结果条形统计图；

(3)、小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．

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22. 如图，点C在线段 $A B$ 上，在 $A B$ 同侧作等腰 $R t △ A C E$ 和等腰 $R t △ B C D$ ，使 $∠ E A C = ∠ B D C = 90 °$ ，连接 $B E$ ，分别交 $C D$ 于点O，交 $A D$ 于点F，

(1)、求证： $△ A C D ∽ △ E C B$ ；

(2)、若 $A C = \sqrt{2}$ ， $C B = 4 \sqrt{2}$ ，求 $A F$ 的长．

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23. 如图，已知抛物线 $y = - x^{2} + 4 x + k$ 与x轴的一个交点为 $B (5 ， 0)$ ，与y轴交于点A，

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点P是抛物线上位于直线 $A B$ 上方的动点，分别过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，作y轴的平行线交直线 $A B$ 于点D，以 $P Q$ 、 $P D$ 为边作矩形 $P Q E D$ ，求矩形 $P Q E D$ 周长的最大值，并求出此时点P的坐标；

(3)、若点N是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点M，使得以A、N、B、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标．

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