山东省济南市莱芜区2022年中考模拟测数学试题

试卷更新日期：2023-03-27 类型：中考模拟

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一、单选题

1. ﹣ $\frac{1}{5}$ 的绝对值是（）

A、﹣ $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、﹣5 D、5

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2. 如图是某会展中心展出的一只紫砂壶，你认为是从上面看到的效果图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 第七次全国人口普查数据显示，诸暨市常住人口约为1220000人，这个数字1220000用科学记数法可表示为（）

A、 $0.122 \times 10^{7}$ B、 $1.22 \times 10^{6}$ C、 $12.2 \times 10^{5}$ D、 $1.22 \times 10^{7}$

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4. 如图， $A B / / C D$ ， $∠ 1 = 50 °$ ， $∠ 2 = 45 °$ ，则 $∠ C A D$ 的大小是（）

A、 $75 °$ B、 $80 °$ C、 $85 °$ D、 $90 °$

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5. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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6.
如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB= $\sqrt{2}$ ，则此三角形移动的距离AA′是（　）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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7. 下列各式中，正确的是（）

A、 $a^{5} + a^{3} = a^{8}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 ${(- 3 a^{2})}^{3} = - 9 a^{6}$ D、 ${(\frac{1}{3})}^{- 2} = 9$

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8. 一班、二班各有m名学生，某次体能测试后，对测试成绩进行了整理和分析（成绩用x表示，单位：分），分成四个组：甲： $80 \leq x < 85$ ；乙： $85 \leq x < 90$ ；丙： $90 \leq x < 95$ ；丁： $95 \leq x < 100$ ，并绘制了下列统计图：

已知一班在乙组中共有15名同学，他们的成绩分别为：

85，85，85，86，87，87，87，87，88，88，88，89，89，88，88．

根据以上信息，下列结论正确的为（）

A、 $m = 50$ B、 $n = 12$ C、二班成绩的众数在乙组 D、一班成绩的中位数为87分

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9. 如图是标准跷跷板的示意图，横板 $A B$ 的中点过支撑点O，且绕点O只能上下转动.如果 $∠ C A O = 90 °$ ， $∠ O A C = 15 °$ ，则小孩玩耍时，跷跷板可以转动的最大角度为（）

A、15° B、20° C、30° D、40°

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10.
如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm² ，四边形ABCD面积是11cm² ，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（　　）cm．

A、45 B、46 C、47 D、48

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11. 如图，在等腰 $△ A B C$ 与等腰 $△ A D E$ 中， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A C = ∠ D A E = α$ ，连接 $B D$ 和 $C E$ 相交于点 $P$ ，交 $A C$ 于点 $M$ ，交 $A D$ 与点 $N$ .则下列结论：① $B D = C E$ ；② $∠ B P E = 180^{\circ} - 2 α$ ；③ $A P$ 平分 $∠ B P E$ ；④若 $α = 60^{\circ}$ ，则 $P E = A P + P D$ .一定正确的是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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12. 某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点P_k(x_k ， y_k)处，其中x₁=1，y₁=1，当k≥2时， ${\begin{cases} x_{k} = x_{k - 1} + 1 - 5 ([\frac{k - 1}{5}] - [\frac{k - 2}{5}]) \\ y_{k} = y_{k - 1} + [\frac{k - 1}{5}] - [\frac{k - 2}{5}] \end{cases}$ ，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.8]=2，[0.3]=0。按此方案，第2021棵树种植点的坐标为（）

A、(1，405) B、(2，403) C、(2，405) D、(1，403)

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二、填空题

13. 因式分解： $a^{3} - 4 a =$ ．

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14. 小林和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”“参加社会调查”其中一项.那么两人同时选择“参加社会调查”的概率是.

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15. 某垃圾处理厂日处理垃圾 $3600$ 吨，实施垃圾分类后，每小时垃圾的处理量比原来提高 $20 %$ ，这样日处理同样多的垃圾就少用 $3 h$ .若设实施垃圾分类前每小时垃圾的处理量为 $x$ 吨，则可列方程.

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16. 如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了米。

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $B C = 2$ ， $C D = \sqrt{3}$ ，以点B为圆心， $B C$ 的长为半径作 $\hat{C E}$ 交 $A D$ 于点E；以点A为圆心， $A E$ 的长为半径作 $\hat{E F}$ 交 $A B$ 于点F，则图中阴影部分的面积为.

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18.
如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的顶点A，B的坐标分别为（6，0），（7，3），将平行四边形OABC绕点O逆时针方向旋转得到平行四边形OA′B′C′，当点C′落在BC的延长线上时，线段OA′交BC于点E，则线段C′E的长度为．

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三、解答题

19. 计算

(1)、计算： $(- 1)^{2016} - 4 c o s 60 ° + (\sqrt{3} - 2)^{0} - {(\frac{1}{3})}^{- 2}$ ；

(2)、先化简，再求值： $\frac{y^{2}}{x y + 2 y^{2}} - \frac{1}{y - 1} \div \frac{x + 2 y}{y^{2} - 2 y + 1}$ ，其中 $3 x + 6 y - 1 = 0$ ．

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20. 为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，某市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每符合题意听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如下：

组别	成绩x分	频数(人数)
第1组	$25 \leq x < 30$	4
第2组	$30 \leq x < 35$	8
第3组	$35 \leq x < 40$	16
第4组	$40 \leq x < 45$	a
第5组	$45 \leq x < 50$	10

请结合图表完成下列各题：

(1)、求表中a的值；

(2)、请把频数分布直方图补充完整；

(3)、若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？

(4)、第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率．

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21. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．

(1)、求证：AE＝AF；

(2)、若AE＝5，AC＝4，求BE的长．

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22. 关公，作为运城乃至山西的一张名片，吸引了来自世界各地的游客，在运城西南 $13$ 公里的常平村(关公故乡)南山上，有一尊巨型关公铜像，高 $61$ 米，象征关公享年 $61$ 岁，底座的高度也有一定寓意．有一位游客，对此产生了兴趣，想测量它的高度，由于游客无法直接到达铜像底部，因此该游客计划借助坡面高度来测量它的高度.如图， $B C$ 代表底座的高，坡顶A与底座底部C处在同一水平面上，该游客在斜坡底P处测得该底座顶端B的仰角为 $45 °$ ，然后他沿着坡度为 $1 ： 2.4$ 的斜坡 $A P$ 攀行了 $26$ 米，在坡顶A处又测得该底座顶端B的仰角为 $76 °$ ．求：

(1)、坡顶A到地面 $P O$ 的距离；

(2)、求底座 $B C$ 的高度(结果精确到 $1$ 米)．
(参考数据： $s i n 76 ° \approx 0.97 ， c o s 76 ° \approx 0.24$ ， $t a n 76 ° \approx 4.00)$

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23. 为了更好改善河流的水质，治污公司决定购买10台污水处理设备.现有A，B两种型号的设备，经过市场调查，购买一台 $A$ 型设备比购买一台 $B$ 型设备多花费2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少花费6万元.

(1)、购买一台A型设备、购买一台B型设备各需要多少万元；

(2)、治污公司经预算购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案.

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24.

(1)、如图①，在正方形 $A B C D$ 中， $△ A E F$ 的顶点E，F分别在 $B C$ ， $C D$ 边上，高 $A G$ 与正方形的边长相等，求 $∠ E A F$ 的度数．

(2)、如图②，在 $R t △ A B D$ 中， $∠ B A D = 90 °$ ， $A B = A D$ ，点M，N是 $B D$ 边上的任意两点，且 $∠ M A N = 45 °$ ，将 $△ A B M$ 绕点A逆时针旋转 $90 °$ 至 $△ A D H$ 位置，连接 $N H$ ，试判断 $M N$ ， $N D$ ， $D H$ 之间的数量关系，并说明理由．

(3)、在图①中，连接 $B D$ 分别交 $A E$ ， $A F$ 于点M，N，若 $E G = 4$ ， $G F = 6$ ， $B M = 3 \sqrt{2}$ ，求 $A G$ ， $M N$ 的长．

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25. 如图 $1$ ，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，已知点 $B$ 坐标为 $(2 ， 0)$ ，点 $C$ 坐标为 $(0 ， 2)$ .

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图 $2$ ，点 $P$ 为直线 $B C$ 上方抛物线上的一个动点，当 $△ P B C$ 的面积最大时，求点 $P$ 的坐标；

(3)、如图 $3$ ，过点 $M (1 ， 3)$ 作直线 $M D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，在直线 $M D$ 上是否存在点 $N$ ，使点 $N$ 到直线 $M C$ 的距离等于点 $N$ 到点 $A$ 的距离？若存在，求出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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