湖南省岳阳汨罗市弼时片2023年九年级下学期第一次联考数学试题

试卷更新日期：2023-03-24 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列实数中是无理数的是（）

A、3.14 B、 $\sqrt{9}$ C、-1 D、 $\sqrt{3}$

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2. 在下面的四个几何体中，它们各自的三视图相同的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算结果正确的是（）

A、 $4 a - 3 a = 1$ B、 $(a^{2})^{3} = a^{3}$ C、 $a^{2} a^{3} = a^{6}$ D、 $(- 2 a)^{3} = - 8 a^{3}$

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4. 某校九年级一班实施新课改以来，学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，学习委员小玲每周对各小组合作学习的情况进行综合评分.如表是其中一周的统计数据，这组数据的中位数和众数分别是（）
组别
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$7$
$8$
分数
$90$
$95$
$90$
$88$
$90$
$92$
$89$
$93$

A、 $88$ ， $90$ B、 $90$ ， $90$ C、 $89$ ， $95$ D、 $90$ ， $93$

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5. 如图，AB∥CD，∠1＝ $α$ ， AF平分∠BAE，则∠2的度数为（）

A、 $α$ B、 $α$ ＋15° C、 $α$ ＋30° D、 $2 α$

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6. 下列命题是真命题的是（）

A、菱形的对角线相等 B、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C、圆内接四边形对角相等 D、三角形的内心是三角形三条边的垂直平分线的交点

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7. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两.请问：所分的银子共有（）两.（注：明代时1斤 $= 16$ 两，故有“半斤八两”这个成语）

A、45 B、46 C、47 D、48

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8. 将二次函数 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} + m + 1$ 配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大1，如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $A (- 1 ， 1)$ ，点 $D (2 ， 1)$ ，则二次函数 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} + m + 1$ 与矩形 $A B C D$ 有交点时 $m$ 的取值范围是（）

A、 $- 2 \leq m \leq 0$ B、 $\frac{- 3 - \sqrt{5}}{2} \leq m \leq 0$ C、 $- 2 \leq m \leq 2$ D、 $\frac{- 3 - \sqrt{5}}{2} \leq m \leq 2$

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二、填空题

9. 函数 $y = \sqrt{x - 4}$ 中自变量x的取值范围是．

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10. 分式方程 $\frac{3 x}{x + 1} = 2$ 的解为 $x =$ .

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11. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ C A B = 60 °$ ，按以下步骤作图：①分别以 $A$ ， $B$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径做弧，两弧相交于点 $P$ 和 $Q$ .②作直线 $P Q$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $A E$ .若 $C E = 4$ ，则 $A E =$ .

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12. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $m$ 的取值范围是.

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13. 如图，用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第个图案需棋子542枚.

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14. 在一个不透明的袋中装有2个黄球和2个红球，如果从袋中随机摸出一个球，然后放回搅匀，再从袋中随机摸出一个球，那么两次都摸到红球的概率是.

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15. 如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度，小童同学在A处观测对岸点C，测得 $∠ C A D = 45 °$ ，小郑同学在距点A处 $60$ 米远的B点测得 $∠ C B D = 30 °$ ，请计算：河宽米.（精确到 $0.01$ 米， $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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16. 如图，已知 $⊙ O$ 是△ABC的外接圆，且圆心O在线段AB上，点D是 $⊙ O$ 上一点，DA的延长线与过点C的切线交于点E，且 $D E ⊥ C E$ ，连接CD交AB于点F，①若 $∠ A D C = 30 °$ ， $⊙ O$ 的半径 $r = 2$ ，则 $\overset{⌢}{A C} =$ ；②若 $t a n ∠ A D C = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{O F}{A F} =$ .

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三、解答题

17. 计算： $2 c o s 30 ° + | \sqrt{3} - 2 | - {(\frac{1}{4})}^{- 1} - \sqrt{4}$ .

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18. 先化简，再求值： $\frac{x}{x^{2} - 4} \div (x + \frac{2 x}{x - 2})$ ，其中 $x$ 是方程 $x^{2} + 2 x - 7 = 0$ 的解.

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19. 如图所示，点 $E$ 在四边形 $A B C D$ 的边 $A D$ 上，连接 $C E$ ，并延长 $C E$ 交 $B A$ 的延长线于点 $F$ ，已知 $A E = D E$ ， $F E = C E$ .

(1)、求证： $△ A E F ≌ △ D E C$ ；

(2)、若 $A D ∥ B C$ ，求证：四边形 $A B C D$ 为平行四边形.

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20. 某校为了了解九年级学生周末在家体育锻炼情况，从九年级学生中随机抽取若干名学生进行调查，以下是根据调查数据绘制的部分统计图表和扇形统计图，根据信息回答下列问题：
等级等级
体育锻炼时间（分 $)$
人数
$A$
$0 \leq x \leq 10$
$a$
$B$
$10 < x \leq 20$
$16$
$C$
$20 < x \leq 30$
$20$
$D$
$x > 30$
$10$

(1)、本次调查共人，表中 $a =$ ，

(2)、扇形统计图中，“ $C$ ”所对应的扇形圆心角的度数为 $°$ ；

(3)、若该校九年级共有 $1000$ 名学生，请你估计周末体育锻炼超过 $20$ 分钟的学生人数.

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21. 如图，一次函数 $y = k x + b (k < 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点 $B (2 ， 2)$ .

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、连接OB，若△BOC的面积为3，求点A的坐标.

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22. 学校为奖励在家自主学习有突出表现的学生，决定购买笔记本和钢笔作为奖品。已知1本笔记本和4支钢笔共需100元，4本笔记本和6支钢笔共需190元。

(1)、分别求一本笔记本和一支钢笔的售价；

(2)、若学校准备购进这两种奖品共90份，并且笔记本的数量不多于钢笔数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由。

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23. 如图①，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A C = 1$ ， D为 $A B$ 的中点， $E F$ 为 $△ A C D$ 的中位线，四边形 $E F G H$ 为 $△ A C D$ 的内接矩形（矩形的四个顶点均在 $△ A C D$ 的边上）.

(1)、计算矩形 $E F G H$ 的面积；

(2)、将矩形 $E F G H$ 沿 $A B$ 向右平移、点F落在 $B C$ 上时停止移动，在平移过程中，当矩形与 $△ C B D$ 重叠部分的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{16}$ 时，求矩形平移的距离；

(3)、如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形 $E_{1} F_{1} G_{1} H_{1}$ ，将矩形 $E_{1} F_{1} G_{1} H_{1}$ 绕 $G_{1}$ 点按顺时针方向旋转，当H₁落在 $C D$ 上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形 $E_{2} F_{2} G_{2} H_{2}$ ，设旋转角为 $α$ ，求 $c o s α$ 的值.

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24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + 8$ 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线 $y = x - t$ 过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称.点P是线段 $O B$ 上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线 $B D$ 于点N.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当 $△ M D B$ 的面积最大时，求点P的坐标；

(3)、在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N，D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在；说明理由

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组别	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
分数	$90$	$95$	$90$	$88$	$90$	$92$	$89$	$93$

等级等级	体育锻炼时间（分 $)$	人数
$A$	$0 \leq x \leq 10$	$a$
$B$	$10 < x \leq 20$	$16$
$C$	$20 < x \leq 30$	$20$
$D$	$x > 30$	$10$