浙江省宁波市六校联盟2021-2022学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2023-03-24 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若函数 $f (x) = \frac{1}{3} f^{'} (- 2) x^{3} + 12 x^{2} - 6$ ，则 $f^{'} (- 2)$ 的值为（）

A、12 B、16 C、18 D、24

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2. 某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的选课方案有（）

A、96种 B、84种 C、78种 D、16种

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3. 函数 $y = f (x)$ 在定义域 $(- \frac{3}{2} ， 3)$ 内可导，图像如图所示，记 $y = f (x)$ 的导函数为 $y = f^{'} (x)$ ，则不等式 $f^{'} (x) \geq 0$ 的解集为（）

A、 $[- \frac{1}{3} ， 1] ∪ [2 ， 3)$ B、 $[- 1 ， \frac{1}{2}] \cup [\frac{4}{3} ， \frac{8}{3}]$ C、 $(- \frac{3}{2} ， - \frac{1}{3}] \cup [1 ， 2]$ D、 $(- \frac{3}{2} ， - \frac{1}{3}] \cup [\frac{4}{3} ， \frac{8}{3}]$

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4. 设随机变量 $ξ$ 服从标准正态分布 $N (0 ， 1)$ ，已知 $Φ (- 1.96) = 0.025$ ，则 $P (| ξ | < 1.96) =$ （）

A、0.025 B、0.050 C、0.950 D、0.975

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5. 已知二项式 $(x + 2)^{n} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} (x + 1)^{2} + ⋯ + a_{n} (x + 1)^{n}$ ，且 $a_{1} = 6$ ，则 $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n} =$ （）

A、128 B、127 C、96 D、63

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6. 已知随机变量X的分布列是：
$X$
$- 1$
$0$
$1$
$P$
$a$
$\frac{1}{3}$
$b$
若 $E (X) = 0$ ，则 $D (X) =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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7. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 4 x + 1 ， x \leq 0 \\ x - \sqrt{x} - \frac{1}{2} l n x + 2 a ， x > 0 \end{array}$ 的值域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{2})$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{2}]$

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二、多选题

8. 对于函数 $f (x) = \frac{l n | x |}{x}$ ，下列选项正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 极小值为 $- \frac{1}{e}$ ，极大值为 $\frac{1}{e}$ B、函数 $f (x)$ 单调递减区间为 $(- \infty ， - e] \cup [e ， + \infty)$ ，单调递增区为 $[- e ， 0) \cup (0 ， e]$ C、函数 $f (x)$ 最小值为为 $- e$ ，最大值 $e$ D、函数 $f (x)$ 存在两个零点1和-1

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9. 某市为了研究该市空气中的PM2.5浓度和 $S O_{2}$ 浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5浓度和 $S O_{2}$ 浓度（单位： $μ g / m^{3}$ ），得到如下所示的 $2 \times 2$ 列联表：
$S O_{2}$ PM2.5
$[0 ， 150]$
$(150 ， 475]$
$[0 ， 75]$
64
16
$(75 ， 115]$
10
10
经计算 $k = \frac{100 \times {(64 \times 10 - 16 \times 10)}^{2}}{80 \times 20 \times 74 \times 26} \approx 7.4844$ ，则可以推断出（）
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.050
0.010
0.001
$k_{0}$
3.841
6.635
10.828

A、该市一天空气中PM2.5浓度不超过75 $μ g / m^{3}$ ，且 $S O_{2}$ 浓度不超过150 $μ g / m^{3}$ 的概率估计值是0.64 B、若 $2 \times 2$ 列联表中的天数都扩大到原来的10倍， $K^{2}$ 的观测值不会发生变化 C、有超过99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与 $S O_{2}$ 浓度有关 D、在犯错的概率不超过1%的条件下，认为该市一天空气中PM2.5浓度与 $S O_{2}$ 浓度无关

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10. 下列结论正确的是（）

A、若随机变量 $X$ 服从两点分布， $P (X = 1) = \frac{1}{2}$ ，则 $D (X) = \frac{1}{2}$ B、若随机变量 $ξ$ 服从二项分布 $B (4 ， \frac{1}{2})$ ，则 $D (ξ) = 1$ C、若随机变量 $ξ$ 服从二项分布 $B (4 ， \frac{1}{2})$ ，则 $P (ξ = 3) = \frac{1}{4}$ D、若随机变量 $Y$ 的方差 $D (Y) = 2$ ，则 $D (3 Y + 2) = 8$

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11. 如图，在某城市中， $M$ ， $N$ 两地之间有整齐的方格形道路网，其中 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $A_{4}$ 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网 $M$ ， $N$ 处的甲､乙两人分别要到 $N$ ， $M$ 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达 $N$ ， $M$ 处为止，则下列说法正确的有（）

A、甲从 $M$ 到达 $N$ 处的走法种数为20 B、甲从 $M$ 必须经过 $A_{3}$ 到达 $N$ 处的走法种数为9 C、甲乙两人能在 $A_{3}$ 处相遇的走法种数36 D、甲，乙两人能相遇的走法种数为162

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三、填空题

12. 已知 $C_{m}^{3} = C_{m}^{4}$ ，则 $C_{8}^{m - 2} + C_{8}^{m - 1} + C_{9}^{m} =$ ．

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13. 函数 $f (x) = 12 x - x^{3}$ 在区间 $[- 3 ， 3]$ 的最小值是.

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14. 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种．（用数字作答）

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + x + \frac{5}{4} ， x \leq 0 \\ 2 l n x - a x ， x > 0 \end{array}$ ，若 $\forall x_{2} \leq 0$ ， $\exists x_{1} > 0$ ，使 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ 成立，则a的取值范围为．

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四、解答题

16. 已知 ${(3 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大．

(1)、求n的值；

(2)、求展开式中含 $\frac{1}{x^{2}}$ 的项．

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17. 已知函数 $f (x) = k (x + 1) e^{- x} + x^{2}$ .

(1)、求导函数 $f^{'} (x)$ ；

(2)、当 $k = e$ 时，求函数 $f (x)$ 的图像在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程.

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18. 某科研机构为了了解气温对蘑菇产量的影响，随机抽取了某蘑菇种植大棚12月份中5天的日产量y（单位：kg）与该地当日的平均气温x（单位：℃）的数据，得到如下散点图：其中A（3，2），B（5，10），C（8，11），D（9，13），E（10，14）．
附：线性回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、求出y关于x的线性回归方程；

(2)、若该地12月份某天的平均气温为6℃，用（1）中所求的回归方程预测该蘑菇种植大棚当日的产量．

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19. 设函数 $f (x) = \frac{a x}{x^{2} + b}$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）.

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 处取得极值 $- 2$ ，求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， 1)$ 内单调递增，求 $b$ 的取值范围.

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20. 设 $b$ 和 $c$ 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量 $ξ$ 表示方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 实根的个数（重根按一个计）.

(1)、求 $ξ$ 的分布列和数学期望；

(2)、求在先后两次出现的点数中有 $5$ 的条件下，方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 有实根的概率.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x - 1}}{x^{2}} - a (l n x + \frac{2}{x}) (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， 2)$ 上有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ）．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证： $x_{1} x_{2} < 1$ ．

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$S O_{2}$ PM2.5	$[0 ， 150]$	$(150 ， 475]$
$[0 ， 75]$	64	16
$(75 ， 115]$	10	10

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	10.828

$X$	$- 1$	$0$	$1$
$P$	$a$	$\frac{1}{3}$	$b$