云南省临沧市云县2021-2022学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-03-24 类型：期中考试

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一、单选题

1. 双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的实轴长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、4 D、2

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2. 已知 $D (X) = 2$ ，则 $D (\frac{1}{2} X) =$ （）

A、2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、-2

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3. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $(1 - 2 i) z = 3 + 2 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- \frac{1}{5} + \frac{8}{5} i$ B、 $\frac{7}{5} + \frac{8}{5} i$ C、 $\frac{1}{5} + \frac{8}{5} i$ D、 $- \frac{1}{5} + i$

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4. 下面是离散型随机变量的是（）

A、电灯炮的使用寿命 $X$ B、小明射击1次，击中目标的环数 $X$ C、测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值 $X$ D、一个在 $y$ 轴上随机运动的质点，它在 $y$ 轴上的位置 $X$

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5. 将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，则不同的发送方法共有（）

A、 $5^{4}$ 种 B、 $4^{5}$ 种 C、 $A_{5}^{4}$ 种 D、 $C_{5}^{4}$ 种

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6. 已知函数 $f (x) = x s i n x - c o s x$ ，则 $f^{'} (- \frac{π}{2})$ 的值为（）

A、0 B、 $\frac{π}{2}$ C、 $- \frac{π}{2}$ D、-2

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7. “ $m > n > 0$ ”是“曲线 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1$ 为焦点在 $x$ 轴上的椭圆”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 若直线 $y = k x - e$ 与曲线 $y = x l n x$ 相切，则 $k =$ （）

A、 $\frac{1}{e}$ B、2 C、 $e$ D、4

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9. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，若 $\forall x \in R$ ， $f (x) \leq f (\frac{π}{3})$ ，则 $ω$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{n (n + 1)}$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、 $\frac{23}{8}$ B、 $\frac{28}{9}$ C、 $\frac{29}{10}$ D、 $\frac{32}{11}$

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11. 从有 $3$ 个红球和 $4$ 个黑球的盒子中，每次随机摸出一个球，摸出的球不再放回．则第 $2$ 次摸到红球的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{2}{7}$

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12. ${(1 + x)}^{3} + {(1 + x)}^{4} + \cdot \cdot \cdot + {(1 + x)}^{8}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数是（）

A、56 B、84 C、96 D、126

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二、填空题

13. 若 $C_{20}^{3 x + 2} = C_{20}^{x + 6}$ ，则正整数 $x$ 的值是

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14. 已知直线 $l_{1}$ ： $a x + y + 1 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $2 x - b y - 1 = 0$ 相交于点 $M (1 ， 1)$ ，则 $a + b =$ ．

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15. 把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则 $P (B ∣ A) =$ .

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16. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，向量 $\vec{m} = (7 ， 1)$ ， $\vec{n} = (c o s C ， 1)$ ， $\vec{p} = (b ， 2 c o s B)$ ，且 $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$ .

(1)、求 $s i n C$ 的值；

(2)、若 $c = 8$ ， $\vec{m} / / \vec{p}$ ，求 $B$ 的大小.

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18. 已知单调递减的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{1} + a_{3} = \frac{5}{8} ， S_{3} = 7 a_{3}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求满足 $S_{n} ⩽ \frac{999}{1000}$ 的所有正整数 $n$ 的值.

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19. 已知双曲线 $C$ 的右焦点与抛物线 $E$ ： $y^{2} = 8 x$ 的焦点 $F$ 重合，且双曲线的一条渐近线为 $l$ ： $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若过点 $F$ 且与 $l$ 平行的直线 $m$ 交抛物线 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点，求线段 $A B$ 的长．

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20. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $C_{1} D_{1}$ 的中点， $F$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求直线 $B_{1} D$ 与平面 $B D E F$ 所成的角的正弦值.

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21. 每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”，为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了1000名高一学生进行在线调查，得到了这1000名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成 $[0 ， 2]$ ， $(2 ， 4]$ ， $(4 ， 6]$ ， $(6 ， 8]$ ， $(8 ， 10]$ ， $(10 ， 12]$ ， $(12 ， 14]$ ， $(14 ， 16]$ ， $(16 ， 18]$ 九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值：

(2)、为进一步了解这1000名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在 $(8 ， 10]$ ， $(10 ， 12]$ 两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在 $(10 ， 12]$ 内的学生人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 4 x + 2 l n x (a \in R)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a = 2$ ，证明： $f (x) + (2 x - 2) \cdot l n x \leq 2 (e^{x} - 2 x)$ ．

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