四川省凉山州西昌市2021-2022学年高二下学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2023-03-24 类型：期中考试

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一、单选题

1. 用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ $(a \neq 0)$ 有有理根，那么 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 中至少有一个是偶数”，下列各假设中正确的是（）

A、假设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 都是偶数 B、假设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 都不是偶数 C、假设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 中至多有一个是偶数 D、假设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 中至多有两个偶数

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2. 设 $z$ 是复数，若 $z (1 - i) = | - i |$ ( $i$ 是虚数单位)，则下列说法正确的是（）

A、 $z$ 的虚部为 $\frac{i}{2}$ B、 $z = \frac{- 1 + i}{2}$ C、 $| z | = 1$ D、 $z + \bar{z} = 1$

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3. 将号码分别为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4<0成立的事件发生的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{3}{16}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 若 $P (A \cup B) = P (A) + P (B) = 1$ ，则事件 $A$ 与 $B$ 的关系是（）

A、互斥不对立 B、对立不互斥 C、互斥且对立 D、以上答案都不对

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5. 已知 $f (x)$ 的定义域为R， $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如所示，则（）

A、 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极小值 B、 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值 C、 $f (x)$ 是 $R$ 上的增函数 D、 $f (x)$ 是 $(- \infty ， 1)$ 上的减函数， $(1 ， + \infty)$ 上的增函数

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6. 我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”他体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式 $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \cdot \cdot \cdot}}$ 中“．．．”即代表着无限次重复，但它却是个定值，可以通过方程 $1 + \frac{1}{x} = x$ 求得 $x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ．类比递推 $\sqrt{2 + 8 \sqrt{2 + 8 \sqrt{2 + 8 \sqrt{⋯}}}}$ =（）

A、 $4 - 3 \sqrt{2}$ B、4 C、 $4 + 3 \sqrt{2}$ D、 $4 \pm 3 \sqrt{2}$

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7. 设曲线 $y = \frac{x}{x - 2}$ 在点 $(4 ， 2)$ 处的切线与直线 $a x - y = 0$ 平行，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、-1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、1

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8. $△ A C B$ 是等腰直角三角形，在斜边AB上任取一点 $M$ ，则 $A M < A C$ 的概率（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9. 若函数 $y = a x (x^{2} - 1)$ 在区间 $(- \frac{\sqrt{3}}{4} ， \frac{\sqrt{3}}{4})$ 上为减函数，则a的取值范围是（）

A、a>0 B、－1<a<0 C、a>1 D、0<a<1

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10. 袋内装有6个球，这些球依次被编号为1，2，3，…，6，设编号为n的球重n²－6n＋12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响)．如果不放回的任意取出2个球，则它们重量相等的概率为（）．

A、 $\frac{2}{15}$ B、 $\frac{7}{15}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{5}$

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11. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (0) = 0$ ，导函数 $f^{^{'}} (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的图象与x轴围成的封闭图形的面积为(　　)

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、2 D、 $\frac{8}{3}$

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12. 设函数f(x)＝ln x＋ $\frac{a}{x - 1}$ 在 $(0 ， \frac{1}{e})$ 内有极值，求实数a的取值范围（）

A、 $(e + \frac{1}{e} - 2 ， + ∞)$ B、 $(e + \frac{1}{e} ， + ∞)$ C、 $(e - \frac{1}{e} ， + ∞)$ D、 $(e + \frac{1}{e} + 2 ， + ∞)$

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二、填空题

13. 若复数 $z$ 满足 $z \cdot (1 + i) = 2$ ( $i$ 为虚数单位)，则 $z =$ .

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14. 国家级邛海湿地公园在每天上午8点起每半小时会有一趟观光车从景区入口发车入园，某人在9点至10点之间到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待的时间不超过10分钟的概率

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15. 已知函数 $f (x) = (x + 1) l n 2 x - x + 1$ ，则 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (1 - 2 Δ x) - f (1)}{Δ x}$ 的值为

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16. 定义在R上的函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x + 3$ ．
① $f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 上是减函数，在 $(1 ， + \infty)$ 上是增函数．
② $y = \frac{f^{'} (x)}{x}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上存在极小值．
③ $f (x)$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线与直线 $y = 2 x + 2$ 垂直．
④设 $g (x) = 4 l n x - m$ ，若存在 $x \in [1 ， e]$ ，使 $g (x) < f^{'} (x)$ ，则 $m > 5 - e^{2}$ ．
以上对函数的描述中正确的选项是：

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三、解答题

17. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物“雪容融”，它们的设计充分体现了中国优秀传统文化和奥运精神的融合.如下图．某老师为了增加吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在班级学生中的印象，进行了拼词游戏．请同学在大小相同的6个乒乓球上分别写上“冰”、“墩”、“墩”、“雪”、“容”、“融”，再请其他同学从6个乒乓球中一次取出3个，进行拼词游戏．

(1)、若某同学一次抽取三个乒乓球进行拼词游戏，求能拼成吉祥物名称的概率．

(2)、若某位同学抽取的三个乒乓球中，至少抽到一个“墩”的概率．

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18. 若直线L与曲线 $y = x^{2} ， (x > 0)$ 和 $x^{2} + y^{2} = \frac{4}{9}$ 都相切，则求L的方程．

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19. $i$ 是虚数单位，已知数列{ $a_{n}$ }，若 $a_{n} = 2 n \cdot i^{n}$ ，求该数列{ $a_{n}$ }的前 $4 n$ 项的和 $S_{4 n}$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} - a l n x$ ， $(a > 0)$ ．

(1)、若 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间．

(2)、若 $f (x) > 0$ 在 $x \in [1 ， 2]$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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21. 观察：下面三个式子的结构规律
① $s i n^{2} \frac{π}{6} + s i n \frac{π}{6} \cdot c o s \frac{π}{3} + c o s^{2} \frac{π}{3} = \frac{3}{4}$
② $s i n^{2} \frac{π}{9} + s i n \frac{π}{9} \cdot c o s \frac{5 π}{18} + c o s^{2} \frac{5 π}{18} = \frac{3}{4}$
③ $s i n^{2} \frac{π}{12} + s i n \frac{π}{12} \cdot c o s \frac{π}{4} + c o s^{2} \frac{π}{4} = \frac{3}{4}$
你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．

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22. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，若 $f (x) = a^{x}$ ， $g (x) = x^{a}$ ， $h (x) = e^{l o g_{a} (x + 1)}$ ．

(1)、若 $a = e$ ，求证：对 $\forall$ $x > - 1$ 都有 $f (x) > h (x)$ ．

(2)、若曲线 $y = \frac{f (x)}{g (x)}$ 与直线 $y = 1$ 有且只有两个交点，求 $a$ 的取值范围．

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