辽宁省重点高中沈阳市郊联体2021-2022学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-03-24 类型：期中考试

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一、单选题

1. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{m + n} = a_{m} a_{n}$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、8 B、16 C、12 D、24

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2. 用数学归纳法证明 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2^{n} - 1} < n (n \in N^{*} ， n > 1)$ 时，第一步应验证不等式（）

A、 $1 + \frac{1}{2} < 2$ B、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} < 2$ C、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} < 3$ D、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} < 3$

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3. 下列求导运算不正确的是（）

A、 ${(x^{2})}^{'} = 2 x$ B、 ${(e^{x} + \ln 3)}^{'} = e^{x} + \frac{1}{3}$ C、 ${(3^{x})}^{'} = 3^{x} \ln 3$ D、 ${(\sin x)}^{'} = \cos x$

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4. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，且 $a_{1} = 2$ ，则 $a_{2022}$ 的值为（）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、-1

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5. 函数 $f (x) = 4 x^{3} - a x^{2} - 2 b x + 2$ 在 $x = 1$ 处有极值 $- 3$ ，则 $a - b$ 的值等于（）

A、0 B、6 C、3 D、2

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6. 设平面内有 $k$ 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设 $k$ 条直线的交点个数为 $f (k)$ ，则 $f (k + 1)$ 与 $f (k)$ 的关系是（）

A、 $f (k + 1) = f (k) + k + 1$ B、 $f (k + 1) = f (k) + k - 1$ C、 $f (k + 1) = f (k) + k$ D、 $f (k + 1) = f (k) + k + 2$

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7. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = - 2021$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{10}}{10} - \frac{S_{8}}{8} = 2$ ，则 $S_{2021}$ 等于（）

A、2021 B、-2021 C、-2020 D、2020

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8. 定义域为 $R$ 的可导函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ ，满足 $f (x) < f^{'} (x)$ ，且 $f (0) = 2$ ，则不等式 $f (x) > 2 e^{x}$ 的解集为（）

A、 $(- ∞ ， 0)$ B、 $(- ∞ ， 2)$ C、 $(0 ， + ∞)$ D、 $(2 ， + ∞)$

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二、多选题

9. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $S_{6} > S_{7} > S_{5}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $d < 0$ B、 $S_{12} > 0$ C、数列 ${S_{n}}$ 的最大项为 $S_{11}$ D、 $| a_{6} | > | a_{7} |$

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10. 若函数 $f (x) = a x^{3} - 3 x^{2} + x + 1$ 恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（）

A、-3 B、-1 C、0 D、3

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11. 数列{an}的前n项和为Sn， $S_{n} = 3^{n - 1} (n \in N^{*})$ ，则有（）

A、{Sn}为等比数列 B、 $a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$ C、 $a_{n} = {\begin{array}{l} 1 ， n = 1 \\ 2 \cdot 3^{n - 2} ， n \geq 2 \end{array}$ D、{nSn}的前n项和为 $\frac{(2 n - 1) \cdot 3^{n} + 1}{4}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 定义域为 $[- 1 ， 5]$ ，部分对应值如表， $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示．下列关于函数 $f (x)$ 的结论正确的有（）

x

-1

0

2

4

5

fx)

1

2

0

2

1

A、函数 $f (x)$ 的极小值点有3个 B、函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 2]$ 上是减函数 C、若 $x \in [- 1 ， t]$ 时， $f (x)$ 的最大值是2，则t的最大值为4 D、当 $1 < a < 2$ 时，函数 $y = f (x) - a$ 有4个零点

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处可导，若 $\underset{x \to 0}{l i m} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{2 Δ x} = 1$ ，则 $f^{'} (x_{0}) =$ ．

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14. 若 $f (x) + f (1 - x) = 2, a_{n} = f (0) + f (\frac{1}{n}) + f (\frac{2}{n}) + ... + f (\frac{n - 1}{n}) + f (1)$ ( $n \in N^{*}$ )，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式是.

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，且 $a_{n + 2} = a_{n} + 2 \times {(- 1)}^{n}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前100项的和为．

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16. 已知 $P$ 为直线 $y = x + 3$ 上的动点， $Q$ 为函数 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ 图象上的动点，则 $| P Q |$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ ，满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{a_{n} + 2}$ .

(1)、证明：数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 为等差数列.

(2)、求 $a_{n}$ .

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18. 设函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3 x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在[0，3]上的最值．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{1} ， a_{3} ， a_{9}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = \frac{1}{2} ， \frac{1}{b_{n}} - \frac{1}{b_{n - 1}} = a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x + 1}{x} + a (x - 1)$ ．

(1)、若 $a = - 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若方程 $f^{'} (x) = 0$ 有两个根，求a的取值范围．

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21. 某企业年初在一个项目上投资2000万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的50%，为了企业长远发展，每年年底需要从利润中取出500万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过 $n (n \in N^{*})$ 年后，该项目的资金为 $a_{n}$ 万元．

(1)、求 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ 的值；

(2)、求证：数列 ${a_{n} - 1000}$ 为等比数列；

(3)、若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（ $l o g 3 \approx 0.5$ ， $l o g 2 \approx 0.3$ ）

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22. 已知函数 $f (x) = l n x - k x + 1$ .

(1)、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、证明： $(1 + \frac{1}{3}) (1 + \frac{1}{3^{2}}) (1 + \frac{1}{3^{3}}) \cdot \cdot \cdot (1 + \frac{1}{3^{n}}) < \sqrt{e} (n \in N^{*})$ .

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x	-1	0	2	4	5
fx)	1	2	0	2	1