辽宁省沈阳市五校协作体2021-2022学年高二下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-03-24 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，…中，x的值是（）

A、19 B、20 C、21 D、22

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2. 设 $f (x) = l n (3 x + 3) - 3 x^{2}$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、 $- \frac{11}{2}$ B、 $- \frac{35}{6}$ C、0 D、 $\frac{35}{6}$

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3. 已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球，则随机取一袋，再以该袋中随机取一球，该球是红球的概率为（）

A、 $\frac{41}{70}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $\frac{1}{6}$

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4. $5 G$ 网络是一种先进的高频传输技术，我国的 $5 G$ 技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款 $5 G$ 手机，现调查得到该款 $5 G$ 手机上市时间 $x$ 和市场占有率 $y$ （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 0.042 x + \hat{a}$ .若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款 $5 G$ 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（）

A、2020年6月 B、2020年7月 C、2020年8月 D、2020年9月

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5. 在等比数列{a_n}(a_n∈R)中，若a₃a₅a₇a₉a₁₁＝243，则 $\frac{a_{9}^{2}}{a_{11}}$ 的值为（）

A、9 B、1 C、2 D、3

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6. 良好的睡眠是保证高中学生学习状态的基础，为了解某校高三学生的睡眠情况，该校调查了高三年级1200名学生的睡眠时间（单位：小时）．经调查发现，这1200名学生每天的睡眠时间 $X \sim N (8 ， 1)$ ，则每天的睡眠时间为 $5 ~ 6$ 小时的学生人数约为（结果四舍五入保留整数）（）
（附：若 $X \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ）

A、63 B、51 C、26 D、20

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7. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，且 $a_{n + 2} - a_{n} = 1 + (- 1)^{n} (n \in N^{*})$ ，则 $S_{100} =$ （）

A、2500 B、2600 C、2800 D、3600

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8. 若x、a、b为任意实数，若 $(a + 1)^{2} + (b - 2)^{2} = 1$ ，则 $(x - a)^{2} + (l n x - b)^{2}$ 最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、9 C、 $9 - 4 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2} - 1$

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二、多选题

9. 已知X＋Y＝8，若X～B(10，0.6)，则下列说法正确的是（）

A、E(Y)＝2 B、E(Y)＝6 C、D(Y)＝2.4 D、D(Y)＝5.6

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10. 等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d \neq 0$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{7} = S_{12}$ ，则下列结论中正确的是（　　）

A、 $a_{1} = 9 d$ B、 $S_{19} = 0$ C、 $| a_{6} | < | a_{15} |$ D、当 $d > 0$ 时， $a_{6} + a_{15} > 0$

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11. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 和 $A_{3}$ 表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（）

A、 $P (B ∣ A_{1}) = \frac{5}{11}$ B、 $P (B) = \frac{2}{5}$ C、事件B与事件 $A_{1}$ 相互独立 D、 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 两两互斥

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12. 若对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (m ， + \infty)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $\frac{x_{1} l n x_{2} - x_{2} l n x_{1}}{x_{2} - x_{1}} < 2$ ，则m的值可能是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{e}$ C、 $\frac{3}{e}$ D、1

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三、填空题

13. 设随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = i) = \frac{i}{a} (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4)$ ，则 $P (\frac{1}{2} < X < \frac{7}{2}) =$ .

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14. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是．

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15. 若函数 $f (x) = e^{x} (c o s x - a)$ 在区间 $[0 ， π]$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是．

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16. 数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = \frac{5}{2} ， S_{n} = a_{n + 1} - 2^{n + 1} - \frac{1}{2} (n \in N^{*}) ，$ 其中 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $a_{n} =$ ，若不等式 $(t - 2) a_{n} \geq 2 n^{2} - 5 n - 12$ 对 $\forall n \in N^{*}$ 恒成立，则实数 $t$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 这三个条件中任选一个，补充在下面题目条件中，并解答.
① $a_{2} = 5$ ， $S_{n + 1} - 2 S_{n} + S_{n - 1} = 3 (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ ；
② $a_{2} = 5$ ， $S_{n + 1} = 3 S_{n} - 2 S_{n - 1} - a_{n - 1} (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ ；③ $\frac{S_{n}}{n} - \frac{S_{n - 1}}{n - 1} = \frac{3}{2} (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ .
问题：已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ，且____.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知 $b_{n}$ 是 $a_{n}$ 、 $a_{n + 1}$ 的等比中项，求数列 ${\frac{1}{b_{n}^{2}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 2022年2月4日，北京冬奥会盛大开幕，这是让全国人民普遍关注的体育盛事，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看相关比赛．某机构将每天收看相关比赛的时间在2小时以上的人称为“冰雪运动爱好者”，否则称为“非冰雪运动爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽取了100人进行分析，得到下表（单位：人）：

冰雪运动爱好者
非冰雪运动爱好者
合计
女性
20
50
男性
15
合计
100
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别与是否为“冰雪运动爱好者”有关？

(2)、将频率视为概率，现从参与调查的女性人群中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“冰雪运动爱好者”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、数学期望 $E (X)$ 和方差 $D (X)$ ．

(3)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(4)、求函数 $f (x)$ 的单调区间.

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19. 已知数列{a_n}的前n项和 $A_{n} = n^{2} (n \in N^{*}) ， b_{n} = \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} + \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，数列{b_n}的前n项和为B_n ．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}} (n \in N^{*})$ ，求数列{c_n}的前n项和C_n；

(3)、证明： $2 n < B_{n} < 2 n + 2 (n \in N^{*})$ ．

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20. 2020年10月16日，是第40个世界粮食日．中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地 $Y C - 801$ 测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入．某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为 $m (m \in [70 ， 100])$ ，其质量指标等级划分如表：
质量指标值m
$[70 ， 75)$
$[75 ， 80)$
$[80 ， 85)$
$[85 ， 90)$
$[90 ， 100)$
质量指标等级
良好
优秀
良好
合格
废品
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了10000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：

(1)、若将频率作为概率，从这10000件产品中随机抽取2件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率；

(2)、若从质量指标值m不低于85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值 $m \in [90 ， 95)$ 的件数X的分布列及数学期望；

(3)、若每件产品的质量指标值m与利润y（单位：元）的关系如表（ $1 < t < 4$ ）：
质量指标值m
$[70 ， 75)$
$[75 ， 80)$
$[80 ， 85)$
$[85 ， 90)$
$[90 ， 100)$
利润y（元）
6t
8t
4t
2t
$- \frac{5}{3} e^{t}$
试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值： $l n 2 \approx 0.7$ ， $l n 5 \approx 1.6$ ）．

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21. 已知函数 $f (x) = x \cdot l n \frac{a}{x} (a > 0)$ ，

(1)、若函数 $g (x) = e^{x}$ 在 $x = 0$ 处的切线也是函数 $f (x)$ 图象的一条切线，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $x_{1} ， x_{2} \in (\frac{a}{e} ， \frac{a}{2})$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，判断 ${(x_{1} + x_{2})}^{4}$ 与 $a^{2} x_{1} x_{2}$ 的大小关系，并说明理由．

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	冰雪运动爱好者	非冰雪运动爱好者	合计
女性	20		50
男性		15
合计			100

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

质量指标值m	$[70 ， 75)$	$[75 ， 80)$	$[80 ， 85)$	$[85 ， 90)$	$[90 ， 100)$
质量指标等级	良好	优秀	良好	合格	废品