江西省抚州市七校联考2021-2022学年高二下学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2023-03-24 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{1 + 2 i}{3 - i}$ ，则在复平面内z所对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 用反证法证明命题“若 $a^{2} + b^{2} \neq 0$ ，则a，b中至少有一个不为0”成立时，假设正确的是（）

A、a，b中至少有一个为0 B、a，b中至多有一个不为0 C、a，b都不为0 D、a，b都为0

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3. 已知在一次降雨过程中，某地降雨量 $y$ （单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可表示为 $y = \sqrt{10 t}$ ，则在 $t = 40 m i n$ 时的瞬时降雨强度为（）mm/min.

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、20 D、400

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4. 算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）．如果拨动图1算盘中的两枚算珠，可以表示不同整数的个数为（）

A、8 B、10 C、15 D、16

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5. 将4个a和2个b随机排成一行，则2个b不相邻的排法种数为（）

A、10 B、15 C、20 D、24

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6. 利用数学归纳法证明不等式 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2^{n} - 1} < n$ （ $n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ）的过程中，由 $n = k$ 到 $n = k + 1$ 时，左边增加了（）

A、1项 B、k项 C、 $2^{k} - 1$ 项 D、 $2^{k}$ 项

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7. 某小朋友按如图规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，7中指，8食指，9大拇指，10食指，…，一直数到2022时，对应的指头是（）

A、小指 B、中指 C、食指 D、无名指

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8. 由曲线 $y^{2} = x ， x^{2} + y^{2} = 2$ 围成的封闭图形的面积为（）

A、 $\frac{π}{4} + \frac{1}{6}$ B、 $\frac{π}{3} + \frac{1}{2}$ C、 $\frac{π}{2} + \frac{1}{3}$ D、 $\frac{π + 1}{2}$

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9. 2021年4月22日是第52个世界地球日，某学校开展了主题为“珍爱地球，人与自然和谐共生”的活动.该校5名学生到 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区宣传，则不同的安排方案共有（）

A、60种 B、90种 C、150种 D、300种

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10. 已知 $f (x) = (- x + \frac{1}{a x} + 1) e^{x}$ 在区间 $(1 ， 2)$ 上有极值点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{8}]$ B、 $(0 ， \frac{1}{8})$ C、 $(0 ， \frac{4}{27}]$ D、 $(0 ， \frac{4}{27})$

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ．若 $p = \frac{1}{2} (a + b + c)$ ，则三角形的面积 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ，因为这个公式最早出现在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中，故称之为海伦公式．将海伦公式推广到凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧)中，即“设凸四边形的四条边长分别为 $a ， b ， c ， d ， p = \frac{1}{2} (a + b + c + d)$ ，凸四边形的一对对角和的一半为 $θ$ ，凸四边形的面积为 $S = \sqrt{(p - a) (p - b) (p - c) (p - d) - a b c d c o s^{2} θ}$ ，现有凸四边形 $A B C D$ ， $A B = 2 ， B C = 4 . C D = 5 ， D A = 3 ，$ 则四边形 $A B C D$ 的面积的最大值为（）

A、12 B、 $6 \sqrt{3}$ C、10 D、 $2 \sqrt{30}$

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12. 已知 $l n a + l n b \geq \frac{a}{2} + 2 b - 2$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $\frac{5}{2}$ B、4 C、 $\frac{9}{2}$ D、6

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = a s i n x + b x^{3} + x^{2}$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $f^{'} (1) = 2$ ，则 $f^{'} (- 1) =$ ．

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14. 已知复数z满足 $| z - i | = 2 ， \bar{z}$ 为z的共轭复数，则 $z \bar{z}$ 的最大值为．

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15. 已知曲线 $f (x) = l n (m x) - n x + 1 (m > 1)$ 的一条切线为直线 $l ： 2 x - y + 1 = 0$ ，则 $m n$ 的最小值为．

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16. 北京冬奥会不仅带动了3亿人参与冰雪运动，更为全民健身的顺利推进以及建设体育强国奠定了坚实基础.某市于2022年10月份举行大学生冰雪运动会，该市M大学派出甲、乙、丙、丁四名大学生运动员参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪和北欧两项共4个项目的比赛，其中每个人只参加了一个项目的比赛，且参加项目各不相同，以下是A，B，C三名同学分别猜测这四名运动员参加的项目：
A说：乙参加的是跳台滑雪，丁参加的是单板滑雪；
B说：甲参加的是北欧两项，丙参加的是越野滑雪；
C说：丙参加的是单板滑雪，丁参加的是跳台滑雪．
已知每个人都猜对了一半，则丁参赛的项目是．

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三、解答题

17. 已知复数 $z_{1} = a + (7 - a) i ， z_{2} = 5 + (3 a + 1) i (a \in R)$ ．

(1)、若 $z_{2}$ 的实部与 $z_{1}$ 的模相等，求a的值；

(2)、若复数 $z_{1} + z_{2}$ 在复平面上的对应点在第四象限，求a的取值范围．

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18.

(1)、若 $A_{2 n}^{3} = 10 A_{n}^{3} (n \geq 3)$ ，求正整数n的值；

(2)、已知 $n C_{n}^{n - 3} + A_{n}^{3} = 4 C_{n + 1}^{3} (n \geq 3)$ ，求正整数n的值．

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19. 已知a，b都是正数．

(1)、若 $a + b = 1 - 2 \sqrt{a b}$ ，证明： $b \sqrt{a} + a \sqrt{b} \geq 4 a b$ ；

(2)、当 $a \neq b$ 时，证明： $a \sqrt{a} + b \sqrt{b} > b \sqrt{a} + a \sqrt{b}$ ．

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20. 已知A，B两地相距 $200 k m$ ，某船从A地逆水到B地，水速为 $8 k m / h$ ，船在静水中的速度为 $v k m / h (v > 8)$ ．若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，比例系数为k，当 $v = 12 k m / h$ ，每小时的燃料费为720元．

(1)、求比例系数 $k$ ；

(2)、当 $8 < v \leq 20$ 时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？

(3)、设 $t > 8$ ，当 $8 < v \leq t$ 时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a (x - 1)^{2} + x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若不等式 $f (x) \geq 2$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = x l n x - \frac{1}{2} a x^{2}$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，求实数a的取值范围．

(2)、若 $x_{1} ， x_{2}$ 是方程 $f (x) = 0$ 的两个不相等的实数根，证明： $x_{1} + x_{2} > \frac{1}{a}$ ．

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