江苏省扬州市宝应县2021-2022学年高二下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-03-24 类型：期中考试

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一、单选题

1. 点 $P (2 ， 1 ， - 3)$ 关于Oxy平面的对称点的坐标为（）

A、 $(- 2 ， 1 ， 3)$ B、 $(2 ， 1 ， 3)$ C、 $(- 2 ， - 1 ， 3)$ D、 $(2 ， - 1 ， - 3)$

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2. 已知 $f (x) = s i n (\frac{π}{2} - x)$ ，则 $f^{'} (x) =$ （）

A、 $c o s x$ B、 $- c o s x$ C、 $s i n x$ D、 $- s i n x$

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3. 设点 $M (1 ， 1 ， 1)$ ， $A (2 ， 1 ， - 1)$ ， $O (0 ， 0 ， 0)$ .若 $\vec{O M} = \vec{A B}$ ，则点 $B$ 的坐标为（）

A、 $(1 ， 0 ， - 2)$ B、 $(3 ， 2 ， 0)$ C、 $(1 ， 0 ， 2)$ D、 $(3 ， - 2 ， 0)$

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4. 若 $A_{2 n}^{3} = 10 A_{n}^{3}$ ，则 $n =$ （）

A、1 B、8 C、9 D、10

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5. 如图所示，在四面体 $O - A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在 $O A$ 上，且 $\vec{O M} = 2 \vec{M A}$ ， $N$ 为 $B C$ 的中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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6. 青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为 $\frac{1}{3} ， \frac{3}{5}$ ，且两题是否答对相互之间没有影响，则至少答对一个问题的概率是（）

A、 $\frac{11}{15}$ B、 $\frac{4}{15}$ C、 $\frac{2}{15}$ D、 $\frac{7}{15}$

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7. 把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为（）

A、12种 B、18种 C、24种 D、36种

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8. $(x - 2 y) {(2 x - y)}^{5}$ 的展开式中的 $x^{3} y^{3}$ 系数为（）

A、-200 B、-120 C、120 D、200

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二、多选题

9. 某人进行射击，共有 $5$ 发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为 $X$ ，则 “ $X = 5$ ”表示的试验结果包括（）

A、第 $5$ 次击中目标 B、第 $5$ 次未击中目标 C、前 $4$ 次未击中目标 D、第 $4$ 次击中目标

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10. 3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（）

A、共有60种不同的坐法 B、空位不相邻的坐法有72种 C、空位相邻的坐法有24种 D、两端不是空位的坐法有27种

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 2$ ，下列说法中正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的极大值为 $\frac{22}{3}$ ，极小值为 $- \frac{10}{3}$ B、若函数 $f (x)$ 在 $[- 2 ， a]$ 上单调递减，则 $- 2 < a \leq 2$ C、当 $x \in [3 ， 4]$ 时，函数 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{22}{3}$ ，最小值为 $- \frac{10}{3}$ D、若方程 $f (x) - c = 0$ 有3个不同的解，则 $- \frac{10}{3} < c < \frac{22}{3}$

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12. 下图为类长方体的几何体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，则在下面的说法中，正确的是（）

A、若上图是棱长为1的正方体，则直线 $A C_{1}$ 与平面 $A D D_{1} A_{1}$ 所成的角是 $\frac{π}{3}$ B、若上图是长方体， $A D = 1 ， A B = a$ ，则在棱AB上存在唯一一点Q满足 $D_{1} Q ⊥ Q C$ 时，a的值等于2 C、若上图是棱长为1的正方体，点P在线段 $A_{1} B$ 上运动，则 $A P + P D_{1}$ 的最小值为 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ D、若上图是棱长为1的正方体，M是棱 $C C_{1}$ 的中点，P是 $D_{1} M$ 的延长线与DC的延长线的交点，则在线段AP上不存在点Q，使得MQ⊥平面 $A_{1} D M$

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三、填空题

13. 曲线y=xe^x+2x+1在点（0，1）处的切线方程为．

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14. 若 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 2) ， \vec{b} = (6 ， - 3 ， 2)$ ，且 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则实数 $λ =$ .

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15. 冬天是鼻炎和感冒的高发期，某人在冬季里鼻炎发作的概率为0.96，鼻炎发作且感冒的概率为0.84，则此人在鼻炎发作的情况下，感冒的概率为．

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16. 在即将来临的五一长假期间，某单位本来安排 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 共5个人在5天中值班，每天1人，每人值班1天，但4月28日时接到通知 $A$ 、 $B$ 员工必需出差，故调整为每天1人，每人至少值班1天，现在只有 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 共3个人在五一长假期间共有种不同的值班方案（用数字作答）．

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四、解答题

17. 要从6名男生4名女生中选出5人参加一项活动．

(1)、有多少种不同的选法？（用数字作答）

(2)、甲当选且乙不当选，有多少种不同的选法？（用数字作答）

(3)、至多有2名男生当选，有多少种不同的选法？（用数字作答）

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18. 设函数 $f (x) = a l n x - b x^{2}$ ，若函数 $f (x)$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处与直线 $y = - \frac{1}{2}$ 相切．

(1)、求实数 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 极值﹒

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19. 如图，已知三棱锥 $O - A B C$ 的侧棱 $O A ， O B ， O C$ 两两垂直，且 $O A = 1 ， O B = O C = 2$ ， $E$ 是 $O C$ 的中点．

(1)、求异面直线 $B E$ 与 $A C$ 所成角的余弦值；

(2)、求二面角 $A - B E - C$ 的正弦值．

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20. 在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；条件②：只有第5项的二项式系数最大；条件③：所有项的二项式系数的和为256.
问题：在 ${(a x - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n} (a > 0)$ 的展开式中，____.

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、若其展开式中的常数项为112，求其展开式中所有的有理项.

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21. 从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点，设随机变量 $ξ$ 是这两点间的距离．

(1)、求概率 $P (ξ = \sqrt{2})$ ；

(2)、求 $ξ$ 的分布列，并求其数学期望 $E (ξ)$ ．

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $∠ A B C = ∠ B A D = \frac{π}{2}$ ， $P A = A D = 2$ ， $A B = B C = 1$ .

(1)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成锐二面角的余弦值；

(2)、点 $Q$ 是线段 $B P$ 上的动点，当直线 $C Q$ 与 $D P$ 所成的角最小时，求线段 $B Q$ 的长.

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