江苏省苏州市常熟市2021-2022学年高二下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-03-24 类型：期中考试

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一、单选题

1. 将3张不同的演唱会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是(　　)

A、2160 B、720 C、240 D、120

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2. 在 ${(x - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中.常数项为（）

A、256 B、240 C、192 D、160

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3. 某校有1200人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布 $N (105 ， σ^{2}) (σ > 0)$ ，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的 $\frac{1}{5}$ ，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为

A、180 B、240 C、360 D、480

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4. 易经是中国传统文化中的精髓，如图所示的是易经八卦(含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦)，每一卦由三根线组成(“——”表示一根阳线，“— —”表示一根阴线).现从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中至少有两根阳线的概率为（）

A、 $\frac{23}{28}$ B、 $\frac{25}{28}$ C、 $\frac{13}{14}$ D、 $\frac{27}{28}$

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5. 函数 $f (x) = - s i n x + x c o s x$ 部分图象大致形状为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 7人中选出5人排成一行，其中甲、乙两人必须选出，且甲必须排在乙的左边（不一定相邻），则不同的排法种数有

A、240 B、480 C、600 D、1200

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7. 若 ${(2 x + 3)}^{8} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + ⋯ + a_{8} {(x + 1)}^{8}$ ，则 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} =$ （）

A、6562 B、3281 C、3280 D、6560

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8. 函数f（x）＝ $\frac{a x^{2}}{2}$ +（1﹣2a）x﹣2lnx在区间 $(\frac{1}{2} ， 3)$ 内有极小值，则a的取值范围是（）

A、 $(- 2 ， - \frac{1}{3})$ B、 $(- 2 ， - \frac{1}{2})$ C、 $(- 2 ， - \frac{1}{3}) \cup (- \frac{1}{3} ， + \infty)$ D、 $(- 2 ， - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2} ， + \infty)$

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二、多选题

9. 下列四个关系式中，一定成立的是（）

A、 $A_{n - 1}^{m - 1} = \frac{(n - 1)!}{(m - n)!}$ B、 $A_{n}^{m} = n A_{n - 1}^{m - 1}$ C、 $3 C_{8}^{3} - 2 C_{5}^{2} = 148$ D、 $C_{4}^{3} + C_{5}^{3} + C_{6}^{3} + ⋯ + C_{10}^{3} = 328$

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10. 已知曲线 $y = x + l n x$ 在点 $(1 ， 1)$ 处的切线与曲线 $y = a x^{2} + (2 a + 3) x + 1$ 有且仅有一个公共点，则实数 $a$ 的值是（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、0

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11. 体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值可能是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{7}{12}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{3}{4}$

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12. 已知函数 $f (x) = x^{2} l n x$ ，下列说法正确的是（）

A、当 $x > 1$ 时， $f (x) > 0$ ；当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) < 0$ B、函数 $f (x)$ 的减区间为 $(0 ， \sqrt{e})$ ，增区间为 $(\sqrt{e} ， + \infty)$ C、函数 $f (x)$ 的值域 $[- \frac{1}{2 e} ， + \infty)$ D、 $f (x) \geq x - 1$ 恒成立

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三、填空题

13. 已知车轮旋转的角度 $θ$ （单位： $r a d$ ）与时间t（单位：s）之间的关系为 $θ (t) = \frac{25 π}{8} t^{2}$ ，则车轮转动开始后第 $3.2 s$ 时的瞬时角速度为 $r a d / s$ ．

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14. 已知 $n$ 是一个三位数，若 $n$ 的十位数字大于个位数字，百位数字大于十位数字，则称 $n$ 为递增数.已知 $a ， b ， c \in {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，设事件A为“由 $a$ ， $b$ ， $c$ 组成一个三位数”，事件 $B$ 为“由 $a$ ， $b$ ， $c$ 组成的三位数为递增数”，则 $P (B | A) =$ .

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15. 如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（ 4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有种.（用数字作答）

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16. 已知函数 $f (x) = x \cdot e^{x} - 1 ， g (x) = l n x + k x$ ，且 $f (x) ≥ g (x)$ 对任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，则实数 $k$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 已知函数f（x）＝x³＋ax²＋bx＋c在x＝－ $\frac{2}{3}$ 与x＝1时都取得极值

(1)、求a、b的值与函数f（x）的单调区间

(2)、若对 $x \in [- 1 ， 2]$ ，不等式 $f (x) < c^{2}$ 恒成立，求c的取值范围.

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18. 高中2021级某数学学习小组共有男生4人，女生3人.

(1)、7个人站成一排，甲､乙两人中间恰好有2人的站法有多少种？

(2)、7人站成一排，甲与乙相邻且丙与丁不相邻，有多少种排法？

(3)、现有10个乒乓球（完全相同）分发给这7名同学，每人至少一个，问有多少种不同的分发？

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19. 每年3月20日是国际幸福日，某电视台随机调查某一社区人们的幸福度.现从该社区群中随机抽取18名，用“10分制”记录了他们的幸福度指数，分别为7.3，7.0，8.2，8.1，8.4，8.3，8.9，8.8，8.5，8.6，8.7，8.5，9.7，9.5，9.6，9.5，9.4，9.3.若福度不低于8.5分，则称该人的幸福度为“很幸福”.

(1)、求从这18人中随机选取3人，至少有1人是“很幸福”的概率；

(2)、以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记 $X$ 表示抽到“很幸福”的人数，求 $X$ 的分布列及 $E (X)$ .

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20. 已知f(x)＝( $\sqrt[3]{x^{2}}$ ＋3x²)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.

(1)、求展开式中二项式系数最大的项；

(2)、求展开式中系数最大的项．

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21. 科学家为研究对某病毒有效的疫苗，通过小鼠进行毒性和药效预实验.已知5只小鼠中有1只患有这种病毒引起的疾病，需要通过化验血液来确定患病的小鼠.血液化验结果呈阳性的即为患病小鼠，呈阴性即没患病.下面是两种化验方案：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病小鼠为止.

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病小鼠为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.

(1)、求方案甲化验次数X的分布列；

(2)、判断哪一个方案的效率更高，并说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求a的取值范围.

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