江苏省连云港市四校2021-2022学年高二下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-03-24 类型：期中考试

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一、单选题

1. 按序给出 $a ， b$ 两类元素， $a$ 类中的元素排序为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸， $b$ 类中的元素排序为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．在 $a ， b$ 两类中各取1个元素组成1个排列，则 $a$ 类中选取的元素排在首位， $b$ 类中选取的元素排在末位的排列的个数为（）

A、240 B、200 C、120 D、60

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2. 若 $| \vec{a} | = 4 ， | \vec{b} | = 4 ，$ $< \vec{a} ， \vec{b} > = \frac{π}{3}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、4 B、 $4 \sqrt{3}$ C、8 D、 $8 \sqrt{3}$

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3. 已知A与B是两个事件，P(B)＝ $\frac{1}{4}$ ， P(AB)＝ $\frac{1}{8}$ ，则P(A|B)等于（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（）

A、20 B、55 C、30 D、25

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5. 已知空间中非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $< \vec{a} ， \vec{b} > = 6 0^{°}$ ，则 $| 2 \vec{a} - 3 \vec{b} |$ 的值为（）．

A、 $\sqrt{97}$ B、97 C、 $\sqrt{61}$ D、61

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6. 二项式 ${(2 x - y)}^{8}$ 的展开式中第3项的二项式系数为（）

A、-56 B、56 C、-28 D、28

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7. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $C P$ 、 $C A$ 、 $C B$ 两两垂直， $A C = C B = 1$ ， $P C = 2$ ，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面 $P A B$ 的法向量的是（　　）

A、 $(1 ， 1 ， \frac{1}{2})$ B、 $(1 ， \sqrt{2} ， 1)$ C、 $(1 ， 1 ， 1)$ D、 $(2 ， - 2 ， 1)$

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8. 在空间直角坐标系中，定义：平面 $α$ 的一般方程为 $A x + B y + C z + D = 0$ （ $A ， B ， C ， D \in R$ ，且A，B，C不同时为零），点 $P (x_{0} ， y_{0} ， z_{0})$ 到平面 $α$ 的距离 $d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ ，则在底面边长与高都为2的正四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面中心O到侧面 $P A B$ 的距离d等于（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、2 D、5

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二、多选题

9. 若 $C_{17}^{x} = C_{17}^{2 x - 1}$ ，则正整数x的值是（）

A、1 B、4 C、6 D、8

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10. 对于 $m$ ， $n \in N^{*}$ ，下列排列组合数结论正确的是（）

A、 $m C_{n}^{m} = n C_{n - 1}^{m - 1}$ B、 $C_{n + 1}^{m} = C_{n}^{m - 1} + C_{n}^{m}$ C、 $A_{n}^{m} = C_{n}^{m} + A_{n}^{m}$ D、 $A_{n + 1}^{m + 1} = (m + 1) A_{n}^{m}$

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11. 给出下列命题，其中正确的有（）

A、空间任意三个向量都可以作为一个基底 B、已知向量 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 与任何向量都不能构成空间的一个基底 C、 $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ 是空间中的四个点，若 $\vec{B A}$ ， $\vec{B M}$ ， $\vec{B N}$ 不能构成空间的一个基底，那么 $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ 共面 D、已知 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 是空间的一个基底，若 $\vec{m} = \vec{a} + \vec{c}$ ，则 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{m}}$ 也是空间的一个基底

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12. 甲箱中有 $3$ 个白球和 $3$ 个黑球，乙箱中有2个白球和 $4$ 个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以 $A_{1} ， A_{2}$ 表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以 $B$ 表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（）

A、 $A_{1} ， A_{2}$ 两两互斥 B、 $P (B | A_{2}) = \frac{2}{3}$ C、事件 $B$ 与事件 $A_{2}$ 相互独立 D、 $P (B) = \frac{9}{14}$

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三、填空题

13. 若 ${(2 + a x)}^{6}$ 的展开式中第4项的系数是160，则 $a =$ .

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14. 已知 $\vec{a} = (1 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{b} = (x ， 1 ， 2)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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15. 已知 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 4 ， - 2)$ ， $\vec{c} = (3 ， 2 ， λ)$ ，若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 三向量共面，则实数 $λ$ 等于.

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16. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为.（用数字作答）

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四、解答题

17. 用0，1，2，3，…，9十个数字可组成多少个不同的

(1)、三位数？

(2)、无重复数字的三位数？

(3)、小于500且没有重复数字的自然数？

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18. 已知空间三点 $A (- 2 ， 0 ， 2)$ ， $B (- 1 ， 1 ， 2)$ ， $C (- 3 ， 0 ， 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ ，

(1)、求 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 夹角的余弦值；

(2)、设 $| \vec{c} | = 3$ ， $\vec{c} / / \vec{B C}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标．

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19. 已知 ${(1 - 2 x)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{7} x^{7}$ ，求：

(1)、 $a_{0} + a_{1} + \cdot \cdot \cdot + a_{7}$ 的值；

(2)、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6}$ 及 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7}$ 的值；

(3)、各项二项式系数和.

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20. 某机构对某品牌机电产品进行了质量调查，下面是消费者关于质量投诉的数据：

擦伤
凹痕
外观
合计
保质期内
$18 %$
$13 %$
$32 %$
$63 %$
保质期后
$12 %$
$22 %$
$3 %$
$37 %$
合计
$30 %$
$35 %$
$35 %$
$100 %$

(1)、如果该品牌机电产品收到一个消费者投诉，那么投诉的原因不是凹痕的概率是多少？

(2)、如果该品牌机电产品收到一个消费者投诉，且投诉发生在保质期内，那么投诉的原因是产品外观的概率是多少？

(3)、已知投诉发生在保质期后，投诉的原因是产品外观的概率是多少？

(4)、若事件 $A$ ：投诉的原因是产品外观，事件 $B$ ：投诉发生在保质期内，则 $A$ 和 $B$ 是独立事件吗？

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21. 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别是 $A_{1} B$ ， $B_{1} C_{1}$ 上的点，且 $B M = 2 A_{1} M$ ， $C_{1} N = 2 B_{1} N$ .设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ .

(1)、试用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{M N}$ ；

(2)、若 $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ B A A_{1} = ∠ C A A_{1} = 60 °$ ， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ，求 $M N$ 的长.

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22. 如图所示，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $S C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $S C = 3$ ， $A C ⊥ B C$ ， $C E = 2 E B = 2$ ， $A C = \frac{3}{2}$ ， $C D = E D$ .

(1)、求证： $D E ⊥$ 平面 $S C D$ ；

(2)、求二面角 $A - S D - C$ 的余弦值；

(3)、求点 $A$ 到平面 $S C D$ 的距离.

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	擦伤	凹痕	外观	合计
保质期内	$18 %$	$13 %$	$32 %$	$63 %$
保质期后	$12 %$	$22 %$	$3 %$	$37 %$
合计	$30 %$	$35 %$	$35 %$	$100 %$