江苏省连云港市灌南县2021-2022学年高二下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-03-24 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $C_{18}^{x + 2} = C_{18}^{2 x - 5}$ ，则x可能取值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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2. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A C_{1}} = x \vec{A A_{1}} + y \vec{A B} + z \vec{A D}$ ，则 $(x ， y ， z) =$ （）

A、 $(1 ， 1 ， 1)$ B、 $(1 ， 1 ， 0)$ C、 $(1 ， 1 ， - 1)$ D、 $(1 ， 0 ， - 1)$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 0 ， m)$ ， $\vec{b} = (2 ， 0 ， - 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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4. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3 ， δ^{2})$ ，且 $P (X < 5) = 0.8$ ，则 $P (1 < X < 3) =$ （）

A、0.2 B、0.3 C、0.4 D、0.6

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5. 一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，若样本中数据在[20，60)内的频率为0.8，则样本中在[40，60)内的数据个数为（）

A、15 B、16 C、17 D、19

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6. 下列说法正确的有（）

A、设随机变量X服从二项分布 $B (6 ， \frac{1}{2})$ ，则 $P (X = 3) = \frac{5}{8}$ B、若X是随机变量，则E（2X＋1）＝2E（X）＋1，D（2X＋1）＝4D（X）＋1 C、已知随机变量ξ~N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则P（ξ＞－1）＝1－2p D、设随机变量ξ表示发生概率为p的事件在一次随机实验中发生的次数， $D (ξ) \leq \frac{1}{4}$

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7. 如图所示，A，B两点共有5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2．现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为 $ξ$ ，则 $P (ξ \geq 8)$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{4}{5}$

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8. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， $P$ 是线段 $B C_{1}$ 上的一动点，如下的四个命题中，
（1） $A_{1} P / /$ 平面 $A D_{1} C$ ；（2） $A_{1} P$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正切值的最大值是 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ；
（3） $A_{1} P + P C$ 的最小值 $\frac{\sqrt{170}}{5}$ ；（4）以 $A$ 为球心， $\sqrt{2}$ 为半径的球面与侧面 $D C C_{1} D_{1}$ 的交线长是 $\frac{π}{2}$ ．
真命题共有几个（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、多选题

9. 对于m∈N*，n∈N*，m≤n，关于下列排列组合数，结论正确的是（）

A、 $C_{n + 1}^{m} = C_{n}^{m + 1} + C_{n}^{m}$ B、 $C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$ C、 $A_{n}^{m} = C_{n}^{m} A_{m}^{m}$ D、 $A_{n + 1}^{m + 1} = (m + 1) A_{m}^{m}$

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10. 已知 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）

A、二项展开式中无常数项 B、二项展开式中第3项为 $240 x^{3}$ C、二项展开式中各项系数之和为 $3^{6}$ D、二项展开式中二项式系数最大的项为 $160 x^{2}$

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11. 已知空间中三点A（0，1，0），B（1，2，0），C（－1，3，1），则正确的有（）

A、 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 是共线向量 B、平面ABC的一个法向量是（1，－1，3） C、 $\vec{A B}$ 与 $\vec{B C}$ 夹角的余弦值是 $- \frac{\sqrt{3}}{6}$ D、与 $\vec{A B}$ 方向相同的单位向量是（1，1，0）

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12. 现有一款闯关游戏，共有 $4$ 关，规则如下：在第 $n$ 关要抛掷骰子 $n$ 次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这 $n$ 次抛掷所出现的点数之和大于 $2^{n} + n$ ，则算闯过第 $n$ 关， $n = 1 ， 2 ， 3 ， 4$ .假定每次闯关互不影响，则（）

A、直接挑战第 $2$ 关并过关的概率为 $\frac{7}{12}$ B、连续挑战前两关并过关的概率为 $\frac{5}{24}$ C、若直接挑战第 $3$ 关，设 $A =$ “三个点数之和等于 $15$ ”， $B =$ “至少出现一个 $5$ 点”，则 $P (A | B) = \frac{1}{13}$ D、若直接挑战第 $4$ 关，则过关的概率是 $\frac{35}{1296}$

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三、填空题

13. 求值： $7 C_{6}^{3} - 4 C_{7}^{4} =$ ．

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14. 2022年北京冬奥会即将开幕，某校4名学生报名担任志愿者.将这4名志愿者分配到3个比赛场馆，每个比赛场馆至少分配一名志愿者，则所有分配方案共有种.（用数字作答）

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15. 已知空间向量 $\vec{a} = (1 ， 0 ， 1) ， \vec{b} = (1 ， 1 ， n)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ ，则n＝，向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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16. 如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)的值为.

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四、解答题

17. 在二项式 ${(2 x - 3 y)}^{9}$ 的展开式中，求：

(1)、二项式系数之和；

(2)、各项系数之和；

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18. 一组学生共有7人．

(1)、若有3名男生、4名女生，全体排成一排，男生互不相邻，求不同的排列方法总数；

(2)、全体排成一排，甲既不站排头也不站接尾，求不同的排列方法总数；

(3)、如果从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有648种，问该组学生中男、女生各有多少人？

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19. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有4个白球和4个红球．先随机取一只袋，再从该袋中先随机取1个球不放回，接着再从该袋中取1个球．

(1)、求第一次取出的球为红球的概率；

(2)、求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率．

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20. 冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会于2022年在中国北京和张家口举行．为了弘扬奥林匹克精神，让学生了解更多的冬奥会知识，某学校举办了有关2022年北京冬奥会知识的宣传活动，其中有一项为抽卡答题活动，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”．卡片背面都有关于冬奥会的问题，答对则奖励与卡片对应的吉祥物玩偶．其中“冰墩墩”卡片有5张，编号分别为1，2，3，4，5；“雪容融”卡片有4张，编号分别为1，2，3，4，从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．

(1)、求取出的4张卡片中，含有编号为4的卡片的概率；

(2)、在取出的4张卡片中，“冰墩墩”卡片的个数设为X．求随机变量X的分布列．

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21. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E，F分别为 $B D$ 和 $B B_{1}$ 的中点，P为棱 $C_{1} D_{1}$ 上的动点．

(1)、是否存在点P使 $P E ⊥$ 平面 $E F C$ ？若存在，求出满足条件时 $C_{1} P$ 的长度并证明；若不存在，请说明理由；

(2)、当 $C_{1} P$ 为何值时，平面 $B C C_{1} B_{1}$ 与平面 $P E F$ 所成锐二面角的正弦值最小．

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项为1，记 $F (x ， n) = a_{1} C_{n}^{0} {(1 - x)}^{n} + a_{2} C_{n}^{1} x {(1 - x)}^{n - 1} + a_{3} C_{n}^{2} x^{2} {(1 - x)}^{n - 2} + ⋯ +$ $a_{n} C_{n}^{n - 1} x^{n - 1} {(1 - x)}^{1} + a_{n + 1} C_{n}^{n} x^{n}$ .

(1)、若数列 ${a_{n}}$ 是公比为3的等比数列，求 $F (- 1 ， 2020)$ 的值；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 是公差为2的等差数列，①求证： $k C_{n}^{k} = n C_{n - 1}^{k - 1}$ ；②求证： $F (x ， 2020)$ 是关于 $x$ 的一次多项式.

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