吉林省长春市农安县2021-2022学年高二下学期数学学情调研试卷

试卷更新日期：2023-03-24 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列四组集合中表示同一集合的为（）

A、 $M = {(- 1 ， 3)}$ ， $N = {(3 ， - 1)}$ B、 $M = {- 1 ， 3}$ ， $N = {3 ， - 1}$ C、 $M = {(x ， y) | y = x^{2} + 3 x}$ ， $N = {x | y = x^{2} + 3 x}$ D、 $M = {∅}$ ， $N = \emptyset$

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2. 已知 $a = \log_{0.2} 2 ， b = 2^{0.2} ， c = {0.2}^{0.3}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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3. 如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域涂色分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同涂法的种数为（）

A、400 B、460 C、480 D、496

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4. 某地为了解居民的每日总用电量y（万度）与气温x（ $℃$ ）之间的关系，收集了四天的每日总用电量和气温的数据如表：

气温x（ $℃$ ）

19

13

9

$- 1$

每日总用电量y（万度）

24

34

38

64

经分析，可用线性回归．方程 $\hat{y} = - 2 x + a$ 拟合y与x的关系．据此预测气温为 $14 ℃$ 时，该地当日总用电量y（万度）为（）

A、30 B、31 C、32 D、33

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5. 若集合 $A = {0 ， 1} ， B = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，则满足 $A \subseteq M \subseteq B$ 的集合M的个数为（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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6. 设命题 $p ： \forall x \in R ， x^{2} - 4 x + 2 m \geq 0$ （其中m为常数），则“ $m \geq 1$ ”是“命题p为真命题”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 8名学生和2位老师站成一排照相，2位老师不相邻且不在两端的排法种数为（）

A、 $A_{8}^{2} A_{9}^{2}$ B、 $A_{8}^{8} C_{9}^{2}$ C、 $A_{8}^{8} A_{7}^{2}$ D、 $A_{8}^{8} C_{7}^{2}$

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8. 某企业的生产废水中某重金属对环境有污染，因此该企业研发了治理回收废水中该重金属的过滤装置，废水每通过一次该装置，可回收20%的该重金属．若当废水中该重金属含量低于最原始的5%时，至少需要经过该装置的次数为（）（参考数据： $l g 2 = 0.301$ ）

A、13 B、14 C、15 D、16

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二、多选题

9. 定义方程 $f (x) = f^{'} (x)$ 的实数根 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的“新不动点”，下列函数中只有一个“新不动点”的函数为（）

A、 $g (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ B、 $g (x) = - e^{x} - 2 x$ C、 $g (x) = \ln x$ D、 $g (x) = \sin x + 2 \cos x$

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10. 已知 ${(\frac{2}{x} - \sqrt{x})}^{6}$ ，则（）

A、展开式中的第4项为 $160 x^{- \frac{3}{2}}$ B、展开式中的常数项为60 C、展开式中的各项系数之和为1 D、展开式中第4项的二项式系数最大

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11. 相关变量 $x$ ， $y$ 的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析．方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程 $\hat{y} = b_{1} x + a_{1}$ ，相关系数为 $r_{1}$ ；方案二：剔除点 $(10 ， 21)$ ，根据剩下数据得到线性归直线方程： $\hat{y} = b_{2} x + a_{2}$ ，相关系数为 $r_{2}$ ．则（）

A、 $r_{1} = r_{2}$ B、 $r_{1} < r_{2}$ C、 $r_{1} > r_{2}$ D、 $r_{1} ， r_{2} \in (- 1 ， 0)$

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12. 某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为 $f (x) = \frac{1}{10 \sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(x - 80)}^{2}}{200}}$ ，则下列命题中正确的是（）

A、该市这次考试的数学平均成绩为80分 B、分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C、分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D、该市这次考试的数学标准差为100

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三、填空题

13. 设a，b，c为非零实数，则 $x = \frac{| a b |}{a b} + \frac{b c}{| b c |} + \frac{a b c}{| a b c |}$ 的所有可能取值构成的集合为．

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14. $(x + 2 y) {(x - y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y^{4}$ 的系数为．

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15. 下面命题：①幂函数图象不过第四象限；② $y = x^{0}$ 图象是一条直线；③若函数 $y = 2^{x}$ 的定义域是 ${x | x \leq 0}$ ，则它的值域是 ${y | y \leq 1}$ ；④若函数 $y = \frac{1}{x}$ 的定义域是 ${x | x > 2}$ ，则它的值域是 ${y | y < \frac{1}{2}}$ ；⑤若函数 $y = x^{2}$ 的值域是 ${y | 0 \leq y \leq 4}$ ，则它的定义域一定是 ${x | - 2 \leq x \leq 2}$ ．其中不正确命题的序号是．

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16. 为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， (x_{3} ， y_{3}) ， (x_{4} ， y_{4}) ， (x_{5} ， y_{5})$ 根据收集到的数据可知 $\bar{y} = 60$ ，由最小二乘法求得回归直线方程为 $\hat{y} = 0 ． 6 x + 48$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} =$ ．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | 2 - a \leq x \leq 2 + a}$ ， $B = {x | x \leq 1$ 或 $x \geq 4}$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若“ $x ∈ A$ ”是“ $x \in ∁_{R} B$ ”的充分不必要条件，且 $A ≠ ∅$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 在10件产品中，有3件一等品.4件二等品.3件三等品．从这10件产品中任取3件．求：

(1)、取出的3件产品中一等品件数X的分布列；

(2)、取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．

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19. 国家大力提倡科技创新，某工厂为提升甲产品的市场竞争力，对生产技术进行创新改造，使甲产品的生产节能降耗．以下表格提供了节能降耗后甲产品的生产产量 $x$ (吨)与相应的生产能耗 $y$ (吨)的几组对照数据．
$x$ （吨）
$4$
$5$
$6$
$7$
$y$ （吨）
$2.5$
$3$
$4$
$4.5$

(1)、请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；
（ $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ）

(2)、已知该厂技术改造前生产 $8$ 吨甲产品的生产能耗为 $7$ 吨，试根据（1）求出的线性回归方程，预测节能降耗后生产 $8$ 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨？

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20. 某教育集团向社会招聘一些管理型教师，现对应聘者所考虑的主要因素进行调查，所得统计结果如下表所示：

男性
女性
薪资
10
16
职位
10
4
参考公式： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
参考数据：
$P (K^{2} \geq k)$
0.100
0.050
0.010
0.001
$k$
2.706
3.841
6.635
10.828

(1)、是否有95%的把握认为应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关；

(2)、应聘需要通过两轮测试，才能成功应聘.第一轮测试有三道试题，答对两道以上视为通过；第二轮测试共有两道试题，全部答对视为通过.应聘者小张在第一轮中每道试题答对的概率为 $\frac{3}{4}$ ，在第二轮中每道试题答对的概率为 $\frac{1}{2}$ ，求小张通过应聘的概率.

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21. 已知函数 $f (x) = (k + 3) \cdot a^{x} + 3 - b$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）是指数函数．

(1)、求k，b的值：

(2)、求解不等式 $f (2 x - 7) > f (4 x - 3)$ ．

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22. 已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.

(1)、证明f(x)有且只有一个零点；

(2)、求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于 $\frac{1}{4}$ .

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气温x（ $℃$ ）	19	13	9	$- 1$
每日总用电量y（万度）	24	34	38	64

$P (K^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.010	0.001
$k$	2.706	3.841	6.635	10.828

$x$ （吨）	$4$	$5$	$6$	$7$
$y$ （吨）	$2.5$	$3$	$4$	$4.5$

	男性	女性
薪资	10	16
职位	10	4