2023年中考数学复习考点一遍过——平面向量

试卷更新日期：2023-03-23 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 下列关于向量的运算中，错误的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ B、 $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (- \vec{b})$ C、 $\vec{a} + (- \vec{a}) = 0$ D、 $\overset{⇀}{a} + (\overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}) = (\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}) + \overset{⇀}{c}$

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2. 已知非零向量 $\vec{a}$ 和单位向量 $\vec{e}$ ，那么下列结论中，正确的是（）

A、 $| \vec{a} | = | \vec{e} | \vec{a}$ B、 $\vec{e} = \frac{1}{| \vec{a} |} \vec{a}$ C、 $\vec{a} = | \vec{e} | \vec{a}$ D、 $\vec{a} = | \vec{a} | \vec{e}$

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3. 已知一个单位向量 $\vec{e}$ ，设 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 是非零向量，那么下列等式中一定正确的是（）

A、 $| \vec{e} | \vec{a} = \vec{a}$ B、 $| \vec{b} | \vec{e} = \vec{b}$ C、 $\frac{1}{| \vec{b} |} \vec{b} = \vec{e}$ D、 $\frac{1}{| \vec{a} |} \vec{a} = \frac{1}{| \vec{b} |} \vec{b}$

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4. 下列命题正确的是（　　）

A、如果| $\vec{a}$ |＝| $\vec{b}$ |，那么 $\vec{a}$ ＝ $\vec{b}$ B、如果 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 都是单位向量，那么 $\vec{a}$ ＝ $\vec{b}$ C、如果 $\vec{a}$ ＝k $\vec{b}$ （k≠0），那么 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ D、如果m＝0或 $\vec{a}$ ＝ $\vec{0}$ ，那么m $\vec{a}$ ＝0

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5. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 为非零向量，下列条件中，不能判定 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ 的是（）

A、 $| \vec{a} | = 3 | \vec{b} |$ B、 $\vec{a} = 2 \vec{c}$ ， $\vec{b} = \vec{c}$ C、 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ D、 $\vec{a} = - 5 \vec{b}$

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6. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，下列选项中错误的是（）

A、 $\vec{A D} = \vec{B C}$ B、 $\vec{O A} + \vec{O C} = 0$ C、 $| \vec{O B} | = | \vec{O D} |$ D、 $| \vec{A B} | = | \vec{C D} |$

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7. 如图，点C、D在线段 $A B$ 上， $A C = B D$ ，那么下列结论中，正确的是（）

A、 $\vec{A C}$ 与 $\vec{B D}$ 是相等向量 B、 $\vec{A D}$ 与 $\vec{B D}$ 是平行向量 C、 $\vec{A D}$ 与 $\vec{B D}$ 是相反向量 D、 $\vec{A D}$ 与 $\vec{B C}$ 是相等向量

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8. 如图，已知平行四边形ABCD中， $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A D} = \vec{b}$ ，E为 $A B$ 中点，求 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} =$ （）

A、 $\vec{E C}$ B、 $\vec{C E}$ C、 $\vec{E D}$ D、 $\vec{D E}$

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9. 如图，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC边于点D．设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{G D} = \vec{b}$ ，那么向量 $\vec{B C}$ 用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示为（　　）

A、 $\vec{B C} = 3 \vec{b} - 2 \vec{a}$ B、 $\vec{B C} = 3 \vec{b} + 2 \vec{a}$ C、 $\vec{B C} = 6 \vec{b} - 2 \vec{a}$ D、 $\vec{B C} = 6 \vec{b} + 2 \vec{a}$

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10. 我们规定：若 $\vec{a} = (x_{1} ， y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2} ， y_{2})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ .例如 $\vec{a} = (1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (2 ， 4)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 3 \times 4 = 2 + 12 = 14$ .已知 $\vec{a} = (x + 1 ， x - 1)$ ， $\vec{b} = (x - 3 ， 4)$ ，且 $- 2 \leq x \leq 3$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最小值是（）

A、-6 B、-8 C、-9 D、-7

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二、填空题（每空3分，共24分）

11. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O，如果 $\vec{A C} = \vec{a} ， \vec{A B} = \vec{b}$ ，那么用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示 $\vec{B D}$ 是．

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12. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，且 $\frac{A D}{B D}$ ＝ $\frac{2}{3}$ ，点E是AC的中点， $\vec{B A}$ ＝ $\vec{a}$ ， $\vec{A C}$ ＝ $\vec{b}$ ，试用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{D E}$ ，那么 $\vec{D E}$ ＝．

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13. 如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，如果 $\vec{A C} = \vec{x}$ ，那么 $\vec{C D}$ ＝（用 $\vec{x}$ 表示）．

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14. 如图，点D ， E ， F分别是△ABC边AB ， BC ， CA上的中点， $\vec{A B} ＝ \vec{a}$ ， $\vec{B C} ＝ \vec{b}$ ，用 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的线性组合表示 $\vec{D E} ＝$ ．

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15. 如图，已知平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A D$ 上一点， $E D = 2 A E$ ，联结 $B E$ 交 $A C$ 于 $F$ ，若向量 $\vec{B A} = \vec{a}$ ，向量 $\vec{B C} = \vec{b}$ ，则向量 $\vec{F A} =$ ．

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16. 如图，线段AD与BC相交于点G， AB//CD， $\frac{A B}{C D} = \frac{1}{2}$ ，设 $\vec{G B} = \vec{a}$ ， $\vec{G A} = \vec{b}$ ，那么向量 $\vec{C D}$ 用向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 表示是

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17. 如图，在△ABC中，点D在边AC上，AD=2CD，如果 $\vec{B A}$ = $\vec{a}$ ， $\vec{B D}$ = $\vec{b}$ ，那么 $\vec{B C}$ = ．

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18. 计算： $3 \vec{a} - \frac{1}{2} (2 \vec{a} - 4 \vec{b}) =$ ．

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三、综合题（共7题，共66分）

19. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ， $D E ∥ B C$ ，点D是边 $A B$ 上的一点， $\frac{A D}{D B} = \frac{2}{3}$ ．

(1)、请直接写出向量 $\vec{A E}$ 关于 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的分解式， $\vec{A E} =$ ；

(2)、在图中作出向量 $\vec{C E}$ 分别在 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 方向上的分向量．（可以不写作法，但必须写出结论）

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20. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，

(1)、用图中的向量表示： $\vec{B A} + \vec{A D} + \vec{D C} =$ ．

(2)、用图中的向量表示： $\vec{B O} - \vec{B C} =$ ．

(3)、在作图区内求作并写结论： $\vec{D O} + \vec{B C}$ ．

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21. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A E$ 平分 $∠ B A D$ ， $A E$ 与 $B D$ 交于点 $F$ ， $A B = 1.2$ ， $B C = 1.8$ ．

(1)、求 $B F ： D F$ 的值；

(2)、设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{B C}$ = $\vec{b}$ ，求向量 $\vec{D F}$ （用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示）．

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22. 如图，已知在 $△ A B C$ 中，点D、E分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上， $D E // B C$ ，点M为边 $B C$ 上一点， $B M = \frac{1}{3} B C$ ，联结 $A M$ 交 $D E$ 于点N．

(1)、求 $\frac{D N}{N E}$ 的值；

(2)、设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A M} = \vec{b}$ ，如果 $\frac{A D}{D B} = \frac{2}{3}$ ，请用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{N E}$ ．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 5 ， c o t A = 2 ， c o t B = 3$ ， D是 $A B$ 边上的一点， $∠ B D C = 45 °$ ．

(1)、求线段 $B D$ 的长；

(2)、如果设 $\vec{C A} = a ， \vec{C B} = b$ ，那么 $\vec{A B} = Δ$ ， $\vec{A D} = Δ ， \vec{C D} = Δ ．$ （含 $a 、 b$ 的式子表示）．

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24. 如图，已知在 $△ A B C$ 中，点 $D 、 E$ 分别在边 $A B 、 A C$ 上，且 $D E$ $∥$ $B C$ ，过点 $D$ 作 $D F$ $∥$ $B E$ 交 $A C$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $A E^{2} = A F \cdot A C$ ；

(2)、若 $A D ： B D = 2 ： 1$ ， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，请用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示 $\vec{A E}$ 、 $\vec{B E}$ （直接写出答案）．

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25. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，E是边 $C D$ 上的一点， $D E = 2$ ， $A B = 5$ ，射线 $A E$ 与射线 $B C$ 相交于点F．

(1)、求 $\frac{E F}{A F}$ 的值；

(2)、若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，求向量 $\vec{E F}$ （用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示）．

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