2023年中考数学复习考点一遍过——图形的相似

试卷更新日期：2023-03-23 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 如图，点D在 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上，添加一个条件，使得 $△ A D B ∽ △ A B C$ ，下列错误的是（）

A、 $A B^{2} = A D \cdot A C$ B、 $∠ A D B = ∠ A B C$ C、 $∠ A B D = ∠ C$ D、 $\frac{B D}{B C} = \frac{A D}{A B}$

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中，D、E分别是边 $A B$ 、 $A C$ 上的点，且 $A D = 4$ ， $B D = 2$ ， $D E ∥ B C$ .则下列说法不正确的是（　　）

A、 $A E ： E C = 2 ： 1$ B、 $D E = \frac{2}{3} B C$ C、 $S_{△ A D E} ： S_{△ A B C} = 2 ： 3$ D、 $△ A D E ∽ △ A B C$

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3. 如图，已知 $A B ∥ C D ∥ E F$ ， $A D ： A F = 3 ： 5$ ， $B C = 6$ ，则 $C E$ 的长为（）

A、2 B、4 C、9 D、10

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4. 如图， $△ A B C$ 与 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 位似，点O为位似中心.已知 $O A ： O A^{'} = 1 ： 3$ ， $△ A B C$ 的周长为4，则 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的周长为（）

A、8 B、12 C、16 D、20

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5. 如图，在正方形网格中： $△ A B C$ 、 $△ E D F$ 的顶点都在正方形网格的格点上，则 $∠ A B C + ∠ A C B$ 的度数为（　　）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $75 °$

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6. 两个三角形相似比是3：4，其中小三角形的周长为9，则另一个大三角形的周长是（）

A、12 B、16 C、27 D、36

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7. 已知在△ABC中，AB=6，AC=9，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD=2. 若△ABC和△ADE相似，则AE=（）

A、5 B、3 C、 $\frac{4}{3}$ D、3或 $\frac{4}{3}$

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8. 如图，若 $P A = P B$ ， $∠ A P B = 2 ∠ A C B$ ， $A C$ 与 $P B$ 交于点 $D$ ，且 $P B = 4$ ， $P D = 3$ ，则 $A D \cdot D C$ 等于（）

A、3 B、6 C、7 D、12

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9. 如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，∠ABC与∠BAC的平分线交于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，则DE＝（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、2 C、 $\frac{14}{5}$ D、3

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10. 如图，边长为5的大正方形 $A B C D$ 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形 $E F G H$ 组成，连结 $A F$ 并延长交 $C D$ 于点M.若 $A H = G H$ ，则 $C M$ 的长为（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、1 D、 $\frac{5}{4}$

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二、填空题（每空3分，共27分）

11. 如图， $△ A B C ∽ △ C B D$ ， $A B = 4$ ， $B D = 6$ ，则 $B C =$ .

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12. 如图，在▱ $A B C D$ 中， $∠ A B C$ 的平分线 $B E$ 交 $A D$ 于点 $E$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ，若 $\frac{A B}{B C} = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{A F}{A C} =$ .

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13. 如图，把一个大长方形 $A B C D$ 划分成三个全等的小长方形，若每一个小长方形均与大长方形 $A B C D$ 相似，则 $A D ： C D$ 的值为.

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， C D$ 为 $A B$ 边上的中线，点G为 $△ A B C$ 的重心.若 $A C = 12 ， B C = 16$ ，则 $D G$ 的长为.

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15. 如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，CD=2BD，CE=2AE，BE交AD于点F，则AF：FD= ， S_△_BFD：S_△_ABC=.

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16. 如图，将一张矩形纸片沿 $E F$ 折叠，得到两个全等的小矩形 $A B C D$ .如果矩形 $A B C D ∽$ 矩形 $A D F E$ ，那么 $\frac{A B}{A D}$ 的值是.

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 6$ ， E为 $C D$ 的中点，G为 $A E$ 的中点，F为 $C B$ 上的一个动点，当 $F G = \frac{1}{2} A E$ 时， $B F$ 的长为.

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18. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ，对角线 $A C = 6$ ， E为 $A D$ 上一点且 $A E = 1$ ，连接 $B E$ 交 $A C$ 于点F，过点F作 $F G ⊥ B C$ 于点G，则 $F G$ 的长度为.

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三、综合题（共6题，共63分）

19. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点D、E在边 $A B$ 上， $C E^{2} = B E \cdot D E$ .

(1)、求证： $∠ D C E = 45 °$ ；

(2)、当 $A C = 3$ ， $A D = 2 B D$ 时，求 $D E$ 的长.

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20. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，P是BC边上一动点（不与B，C重合），DE⊥AP于E.

(1)、试说明△ADE∽△PAB；

(2)、若PA＝x，DE＝y，请写出y与x之间的函数关系式.

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21. 如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B.

(1)、求证：△AED∽△ADC；

(2)、若AE＝1，EC＝3，求AB的长.

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22. 如图，E是矩形 $A B C D$ 中 $C D$ 边上一点，将 $△ B C E$ 沿 $B E$ 折叠得到 $△ B F E$ ，点F落在 $A D$ 上.

(1)、求证： $△ A B F ∽ △ D F E$ ；

(2)、若 $s i n ∠ D F E = \frac{1}{3}$ ，求 $t a n ∠ E B C$ 的值；

(3)、在 $△ A B F$ 中， $A F = 5 c m$ ， $B F = 10 c m$ ，动点M从点B出发，在 $B F$ 边上以每秒 $2 c m$ 的速度向点F匀速运动，同时动点N从点A出发，在 $A B$ 边上以每秒 $\sqrt{3} c m$ 的速度向点B匀速运动.设运动时间为 $t s (0 \leq t \leq 5)$ ，连接 $M N$ ，若 $△ A B F$ 与以点B，N，M为顶点的三角形相似，求t的值.

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23. 我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图1，身高 $1.5 m$ 的小王晚上在路灯灯柱 $A H$ 下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致．

(1)、请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．

(2)、估计路灯 $A O$ 的高，并求影长 $P Q$ 的步数．

(3)、无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板 $D E F$ 测量树的高度 $A B$ ，他调整自己的位置，设法使斜边 $D F$ 保持水平，并且边 $D E$ 与点B在同一直线上．测得 $D F = 0.5 m$ ， $E F = 0.3 m$ ， $C D = 10 m$ ，小明眼睛到地面的距离为 $1.5 m$ ，则树高 $A B$ 为m．

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24.

(1)、【基础巩固】如图1，在 $△ A B C$ 中，E是 $A B$ 上一点，过点E作 $B C$ 的平行线交 $A C$ 于点F，点D是 $B C$ 上任意一点，连结 $A D$ 交 $E F$ 于点G，求证： $\frac{E G}{G F} = \frac{B D}{D C}$ ；

(2)、【尝试应用】
如图2，在（1）的条件下，连结 $B F$ ， $D F$ ，若 $∠ C = 30 °$ ， $F E$ 、 $F B$ 恰好将 $∠ A F D$ 三等分，求 $\frac{E G}{F G}$ 的值；

(3)、【拓展延伸】
如图3，在等边 $△ A B C$ 中， $B D = 4 D C$ ，连结 $A D$ ，点E在 $A D$ 上，若 $∠ B E C = 120 °$ ，求 $\frac{B E}{B C}$ 的值.

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