山东省东营市利津县2021-2022学年高一下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-03-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若 $c o s α = - \frac{4}{5}$ ，且 $α$ 是第三象限角，则 $t a n α =$ （）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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2. 设点 $O$ 是正三角形 $A B C$ 的中心，则向量 $\vec{A O}$ ， $\vec{B O}$ ， $\vec{C O}$ 是（）

A、相同的向量 B、模相等的向量 C、共起点的向量 D、共线向量

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (3 ， 2)$ ，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{17}$ D、 $5 \sqrt{2}$

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4. 若 $α$ 是锐角，则 $θ = k π + α$ ， $(k \in Z)$ 是（）

A、第一象限角 B、第三象限角 C、第一象限角或第三象限角 D、第二象限角或第四象限角

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5. 如图，在平行四边形ABCD中，若 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ，则 $\vec{B C} =$ （）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ B、 $\vec{a} - \vec{b}$ C、 $- (\vec{a} + \vec{b})$ D、 $- \vec{a} + \vec{b}$

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6. 下列关于函数 $f (x) = - | t a n x |$ 说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的定义域为R B、函数 $f (x)$ 为奇函数 C、函数 $f (x)$ 的最小值为0 D、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$

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7. 四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A B} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = - 4 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{C D} = - 5 \vec{a} - 3 \vec{b}$ ，若 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 不共线，则四边形 $A B C D$ 为（）

A、平行四边形 B、矩形 C、梯形 D、菱形

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8. 圆心在原点，半径为10的圆上的两个动点M，N同时从点 $P (10 ， 0)$ 出发，沿圆周运动，点M按逆时针方向旋转，速度为 $\frac{π}{6}$ 弧度/秒，点N按顺时针方向旋转，速度为 $\frac{π}{3}$ 弧度/秒，则它们第三次相遇时点M转过的弧度数为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $2 π$ D、 $3 π$

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二、多选题

9. 与 $202 2^{∘}$ 终边相同的角是（）

A、 $- 13 8^{∘}$ B、 $- 7 2^{∘}$ C、 $4 2^{∘}$ D、 $22 2^{∘}$

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10. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形 $($ 图 $2)$ 中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A B} = \vec{E F}$ B、 $\vec{O A} - \vec{E D} = \vec{D O}$ C、 $\vec{O B} + \vec{O D} = \sqrt{2} \vec{O C}$ D、 $\vec{A H}$ 和 $\vec{C E}$ 能构成一组基底

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11. 在平面直角坐标系中，角 $α$ 的始边为 $x$ 的正半轴，终边经过点 $(- 1 ， 2)$ ，则下列式子正确的是（）

A、 $\frac{s i n α + c o s α}{s i n α - 7 c o s α} = - \frac{1}{9}$ B、 $c o s (5 π - α) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $2 s i n^{2} α + s i n α c o s α - 3 c o s^{2} α = \frac{3}{5}$ D、若 $α$ 为钝角，则 $\frac{π}{2} < α < \frac{2 π}{3}$

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12. 若函数 $f (x) = s i n (2 ω x + \frac{π}{6}) - \frac{1}{2} (ω > 0)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{24})$ 上单调递增，则（）

A、存在 $ω$ ，使得函数 $f (x)$ 为奇函数 B、函数 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ C、 $ω$ 的取值范围为 $(0 ， 4]$ D、存在4个不同的 $ω$ ，使得函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称

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三、填空题

13. 若圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形的弧长为 $π$ ，则该扇形面积为.

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14. 如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是 $\vec{F_{1}}$ ， $\vec{F_{2}}$ ，且 $\vec{F_{1}}$ ， $\vec{F_{2}}$ 与水平夹角均为 $45 °$ ， $| \vec{F_{1}} | = | \vec{F_{2}} | = 10 N$ ，则物体的重力大小为 $N .$

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15. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，请写出一个与向量 $\vec{A D}$ 共线的一个向量.（用平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示）.

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16. 在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”．一个回归年定义为从某年春分到次年春分所经历的时间，也指太阳直射点回归运动的一个周期．某科技小组以某年春分为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）．设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y，该小组通过对数据的整理和分析，得到y与x近似满足 $y = 23.4393911 \cdot s i n (0.0172025 x)$ ，则一个回归年对应的天数约为（精确到0.01）；已知某年的春分日是星期六，则4个回归年后的春分日应该是星期．（ $\frac{π}{0.0172025} \approx 182.624$ ）

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四、解答题

17. 已知点 $A (2 ， 3)$ ， $B (5 ， 4)$ ， $C (7 ， 10)$ ， $P (x ， y)$ ，且点 $P$ 满足 $\vec{A P} = α \vec{A B} + β \vec{A C}$ ，其中 $α$ ， $β \in R .$

(1)、若 $α = 1$ ，点P在直线 $y = x$ 上，求实数 $β$ ；

(2)、若 $α + β = 1$ ，求点P的坐标x，y满足的关系式.

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18. 已知角 $α$ 满足 $s i n α - c o s α = - \frac{\sqrt{5}}{5} .$

(1)、若角 $α$ 是第三象限角，求 $t a n α$ 的值；

(2)、若 $f (α) = \frac{s i n (α - π) t a n (5 π + α) c o s (π + α)}{t a n (2 π - α) c o s (- \frac{3 π}{2} - α)}$ ，求 $f (α)$ 的值.

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19. 如图，在平行四边形ABCD中， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， BD，AC相交于点O，M为BO中点.设向量 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b} .$

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{A M} ；$

(2)、建立适当的坐标系，使得点C的坐标为 $C (\frac{5}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，求点M的坐标.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 图象的相邻两条对称轴间的距离为 $\frac{π}{2} .$

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间和其图象的对称轴方程；

(2)、先将函数 $y = f (x)$ 的图象各点的横坐标向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，纵坐标不变得到曲线C，再把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到 $g (x)$ 的图象，若 $g (x) \geq \frac{1}{2}$ ，求x的取值范围.

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21. 函数 $f (x) = 1 - 2 a - 2 a c o s x - 2 s i n^{2} x$ 的最小值为 $g (a)$ ， $a > 0 .$

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $g (2)$ ；

(2)、若 $g (a) = - \frac{7}{2}$ ，求实数 $a .$

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22. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ， $P (\frac{7}{6} ， 0)$ 是函数 $f (x)$ 图象上的一点，M，N是函数 $f (x)$ 图象上一组相邻的最高点和最低点，在x轴上存在点T，使得 $\vec{P T} = \vec{P M} + \vec{P N}$ ，且四边形PMTN的面积的最小值为 $2 \sqrt{3} .$

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (\frac{A}{π}) = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ， $A \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，求 $A$ ；

(3)、已知 $\vec{P H} = \frac{1}{3} \vec{P T}$ ，过点H的直线交PM于点Q，交PN于点K， $\vec{P Q} = λ \vec{P M}$ ， $\vec{P K} = μ \vec{P N}$ ，问 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ}$ 是否是定值？若是，求出定值，若不是，说明理由.

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